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高中數(shù)學教案
作為一無名無私奉獻的教育工作者，就有可能用到教案，編寫教案助于積累教學經(jīng)驗，不斷提高教學質(zhì)量。寫教案需要注意哪些格式呢？以下是小編整理的高中數(shù)學教案，歡迎大家借鑒與參考，希望對大家有所幫助。
高中數(shù)學教案1
一、活動主題的提出
根據(jù)新課改課程標準及高中數(shù)學教學要求，為切實實施素質(zhì)教育，改革教學方式與方法，變教教材為用教材，有機地開展校本課程，培養(yǎng)學生的綜合實踐能力和創(chuàng)新能力，培養(yǎng)學生的探索精神和用數(shù)學的意識，以教材中的閱讀與思考為素教材，推進高中數(shù)學研究性學習的進程，對該問題進行研究，旨在為深化課堂教學內(nèi)容，促進性自主研究和學習，從而探討高中數(shù)學研究性學習的實施辦法。
二、活動的具體目標
1、知識目標：通過集合中元素的個數(shù)問題的研究，探求有限集合中元素個數(shù)間的關(guān)系，比較幾個集合中元素個數(shù)的多少的方法。
2、能力目標：能多方面、多角度、多層面來探究問題，運用知識來解決問題，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維和創(chuàng)新思維能力。
3、情感目標：學該課題的研究，激發(fā)學生的學習熱情和學習興趣，享受探索成功的樂趣，培養(yǎng)科學態(tài)度與科學精神。
三、活動的實施過程、方式
1、出示活動內(nèi)容與思考的問題（5分鐘）
（1）、學校小賣部進了兩次貨，第一次進的貨是圓珠筆、鋼筆、橡皮、筆記本、方便面、汽水共6種，第二次進的貨是圓珠筆、鉛筆、火腿腸、方便面共4種，兩次一共進了幾種貨？回答兩次一共進了10（6+4）種，對嗎？應(yīng)如何解答？有哪些方法？因此可以得出什么結(jié)論（集合中元素個數(shù)間的關(guān)系）？
�。�2）、學校先舉辦了一次田徑運動會，某班有8名同學參賽，又舉辦了一次球類運動會，這個班有12名同學參賽，兩次運動會都參賽的有3人。兩次運動會中，這個班共有多少名同學參賽？應(yīng)如何解答？由此解出以下結(jié)論（集合中元素個數(shù)間的關(guān)系）？又如：某班共30人，其中15人喜愛籃球運動，10人喜愛乒乓球運動，8人對這兩項運動都不喜愛，則喜愛籃球運動但不喜愛乒乓球運動的人是多少？應(yīng)如何解答？
�。�3）涉及三個及三個以上，集合的并、交問題，能用類似的結(jié)論嗎？應(yīng)怎樣表達？如：學校開運動會，設(shè)。若參加一百米的同學有5人，參加二百米跑的同學有6人，參加四百米跑的同學有7人，參加一百、二百同學有2人，參加一百、四百的同學有3人，參加二百、四百的同學有5人，三項都參加的人有1人，求有多少人參賽？
�。�4）設(shè)計比較集合與集合B=中元素的個數(shù)的多少的方法。
2、活動分工及時間安排（25分鐘）
全班以大組為單位（共四個大組）來研究以上4個問題。第一大組研究（1）問題，第二大組研究（2）個問題，第三大組研究（3）個問題，第四大組研究（4）個問題。要求每組由學生自行確定一位負責人，并由此同學組織具體活動，明確該同學是下步活動交流中心發(fā)言人。有余力的組可協(xié)助思考其它組的問題。教師下到各組視察，了解情況，并作必要的指導(dǎo)。
3、活動交流（15分鐘）
請每一小組中心發(fā)言人回答各自分配的問題，全班其它同學補充，教師引導(dǎo)學生概括，得出結(jié)論：
列舉法
問題（1）涉及的集合元素個數(shù)較少而且具體，可用列舉法寫出，很快可解決此問題，并由特殊到一般的思維方式概括得出：
圖解法
當集合元素個數(shù)較少而不具體時，據(jù)題意畫出集合的韋恩圖，從而解決實際問題如問題（2），并歸納得出：這一結(jié)論。
數(shù)形結(jié)合法
利用集合間的關(guān)系，結(jié)合示意圖，據(jù)未知可設(shè)適當?shù)奈粗獢?shù)，建立方程求解，如問題（2）中的第二個問題。設(shè)喜愛籃球運動但不喜愛乒乓球運動的人數(shù)為x，則兩項都喜愛的有（15-x）人，喜愛乒乓球而不喜愛籃球的有[10-（15-x）]人，據(jù)題意有：x+（15-x）+[10-（15-x）]+8=30，解得x=12。故喜愛籃球運動但不喜愛乒乓球運動的有12人。
歸納、猜想法
通過對問題（3）的求解，并結(jié)合問題（1）、（2）的求解，歸納、猜想出：。
概念派生法
通過問題（4）的研究求解，大部分學生較易得出A，因此，由真子集的概念得出集合B的元素的個數(shù)少于集合A的元素的個數(shù)。這個結(jié)論是由概念的.內(nèi)涵派生出來的。
“對應(yīng)”法
經(jīng)研究討論，同學中有“集合A的元素個數(shù)等于集合B的元素個數(shù)”的結(jié)論。少數(shù)同學運用“對應(yīng)”思想：，顯然有此結(jié)論。這是一個多好的想法��！
四、活動評價
充分運用高中數(shù)學子教材資源“閱讀與思考”，廣泛開展第二課堂活動，能很好地調(diào)動學生的學習興趣，能很好地開發(fā)學生的創(chuàng)造潛能，有助于學生探究能力和創(chuàng)新能力的提高。通過本課題的研究，至少有以下成功之處：第一、深化了課堂知識，進一步鞏固和拓展了所學知識；第二、培養(yǎng)了學生探究能力，很好地改變了學生的學習方式、方法；第三、增強了學生運用知識解決問題的意識：該課題以解決問題為背景，通過分工與合作和恰當?shù)匾龑?dǎo)，學生用知識的意識明顯增強，運用知識解決問題的能力明顯提高；第四、培養(yǎng)了學生的思維品質(zhì)。通過問題（4）的研究，我們得出了不一樣的結(jié)論，但都有道理，學生向引發(fā)爭議，學生的批判性思維得到較好的發(fā)展。
五、注意事項
1、教師課題準備要充分。要認真鉆研材料；查閱相關(guān)資料或研究成果；作好周密的活動計劃。切忌無準備或準備不充分就上課。
2、避免“活動研究課”上課學科化，要充分地讓學生自主的活動，不人為地牽制學生。
3、積極引導(dǎo)學生搞好“交流——合作”環(huán)節(jié)的活動，充分聽取學生的意見，讓學生自己總結(jié)作法和研究成果，切忌教師包辦，強加于人。
4、堅持引導(dǎo)學生寫好活動總結(jié)和體會，歸納研究方法與成果，忌只管上課不管下課，課后不鞏固。
高中數(shù)學教案2
教學目的：掌握圓的標準方程，并能解決與之有關(guān)的問題
教學重點：圓的標準方程及有關(guān)運用
教學難點：標準方程的靈活運用
教學過程：
一、導(dǎo)入新課，探究標準方程
二、掌握知識，鞏固練習
練習：⒈說出下列圓的方程
�、艌A心（3，-2）半徑為5⑵圓心（0，3）半徑為3
�、仓赋鱿铝袌A的圓心和半徑
�、牛▁-2）2+(y+3)2=3
�、苮2+y2=2
�、莤2+y2-6x+4y+12=0
�、撑袛�3x-4y-10=0和x2+y2=4的'位置關(guān)系
⒋圓心為（1，3），并與3x-4y-7=0相切，求這個圓的方程
三、引伸提高，講解例題
例1、圓心在y=-2x上，過p(2，-1)且與x-y=1相切求圓的方程（突出待定系數(shù)的數(shù)學方法）
練習：1、某圓過(-2，1)、(2，3)，圓心在x軸上，求其方程。
2、某圓過A(-10，0)、B(10，0)、C(0，4)，求圓的方程。
例2：某圓拱橋的跨度為20米，拱高為4米，在建造時每隔4米加一個支柱支撐，求A2P2的長度。
例3、點M(x0，y0)在x2+y2=r2上，求過M的圓的切線方程(一題多解，訓(xùn)練思維)
四、小結(jié)練習P771，2，3，4
五、作業(yè)P811，2，3，4
高中數(shù)學教案3
教學目標：
（1）了解坐標法和解析幾何的意義，了解解析幾何的基本問題。
�。�2）進一步理解曲線的方程和方程的曲線。
�。�3）初步掌握求曲線方程的方法。
�。�4）通過本節(jié)內(nèi)容的教學，培養(yǎng)學生分析問題和轉(zhuǎn)化的能力。
教學重點、難點：
求曲線的方程。
教學用具：
計算機。
教學方法：
啟發(fā)引導(dǎo)法，討論法。
教學過程：
【引入】
1、提問：什么是曲線的方程和方程的曲線。
學生思考并回答。教師強調(diào)。
2、坐標法和解析幾何的意義、基本問題。
對于一個幾何問題，在建立坐標系的基礎(chǔ)上，用坐標表示點；用方程表示曲線，通過研究方程的性質(zhì)間接地來研究曲線的性質(zhì)，這一研究幾何問題的方法稱為坐標法，這門科學稱為解析幾何。解析幾何的兩大基本問題就是：
�。�1）根據(jù)已知條件，求出表示平面曲線的方程。
�。�2）通過方程，研究平面曲線的性質(zhì)。
事實上，在前邊所學的直線方程的理論中也有這樣兩個基本問題。而且要先研究如何求出曲線方程，再研究如何用方程研究曲線。本節(jié)課就初步研究曲線方程的求法。
【問題】
如何根據(jù)已知條件，求出曲線的方程。
【實例分析】
例1：設(shè)、兩點的坐標是、(3，7)，求線段的垂直平分線的方程。
首先由學生分析：根據(jù)直線方程的知識，運用點斜式即可解決。
解法一：易求線段的中點坐標為(1，3)，
由斜率關(guān)系可求得l的斜率為
于是有
即l的方程為
①
分析、引導(dǎo)：上述問題是我們早就學過的，用點斜式就可解決�？墒�，你們是否想過①恰好就是所求的嗎？或者說①就是直線的方程？根據(jù)是什么，有證明嗎？
�。ㄍㄟ^教師引導(dǎo)，是學生意識到這是以前沒有解決的問題，應(yīng)該證明，證明的依據(jù)就是定義中的兩條）。
證明：(1)曲線上的點的坐標都是這個方程的解。
設(shè)是線段的.垂直平分線上任意一點，則
即
將上式兩邊平方，整理得
這說明點的坐標是方程的解。
（2）以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點。
設(shè)點的坐標是方程①的任意一解，則
到、的距離分別為
所以，即點在直線上。
綜合(1)、(2)，①是所求直線的方程。
至此，證明完畢�；仡櫳鲜鰞�(nèi)容我們會發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象：在證明(1)曲線上的點的坐標都是這個方程的解中，設(shè)是線段的垂直平分線上任意一點，最后得到式子，如果去掉腳標，這不就是所求方程嗎？可見，這個證明過程就表明一種求解過程，下面試試看：
解法二：設(shè)是線段的垂直平分線上任意一點，也就是點屬于集合
由兩點間的距離公式，點所適合的條件可表示為
將上式兩邊平方，整理得
果然成功，當然也不要忘了證明，即驗證兩條是否都滿足。顯然，求解過程就說明第一條是正確的（從這一點看，解法二也比解法一優(yōu)越一些）；至于第二條上邊已證。
這樣我們就有兩種求解方程的方法，而且解法二不借助直線方程的理論，又非常自然，還體現(xiàn)了曲線方程定義中點集與對應(yīng)的思想。因此是個好方法。
讓我們用這個方法試解如下問題：
例2：點與兩條互相垂直的直線的距離的積是常數(shù)求點的軌跡方程。
分析：這是一個純粹的幾何問題，連坐標系都沒有。所以首先要建立坐標系，顯然用已知中兩條互相垂直的直線作坐標軸，建立直角坐標系。然后仿照例1中的解法進行求解。
求解過程略。
【概括總結(jié)】通過學生討論，師生共同總結(jié)：
分析上面兩個例題的求解過程，我們總結(jié)一下求解曲線方程的大體步驟：
首先應(yīng)有坐標系；其次設(shè)曲線上任意一點；然后寫出表示曲線的點集；再代入坐標；最后整理出方程，并證明或修正。說得更準確一點就是：
（1）建立適當?shù)淖鴺讼担糜行驅(qū)崝?shù)對例如表示曲線上任意一點的坐標；
�。�2）寫出適合條件的點的集合
�。�
�。�3）用坐標表示條件，列出方程；
�。�4）化方程為最簡形式；
（5）證明以化簡后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點。
一般情況下，求解過程已表明曲線上的點的坐標都是方程的解；如果求解過程中的轉(zhuǎn)化都是等價的，那么逆推回去就說明以方程的解為坐標的點都是曲線上的點。所以，通常情況下證明可省略，不過特殊情況要說明。
上述五個步驟可簡記為：建系設(shè)點；寫出集合；列方程；化簡；修正。
下面再看一個問題：
例3：已知一條曲線在軸的上方，它上面的每一點到點的距離減去它到軸的距離的差都是2，求這條曲線的方程。
【動畫演示】用幾何畫板演示曲線生成的過程和形狀，在運動變化的過程中尋找關(guān)系。
解：設(shè)點是曲線上任意一點，軸，垂足是（如圖2），那么點屬于集合
由距離公式，點適合的條件可表示為
�、�
將①式移項后再兩邊平方，得
化簡得
由題意，曲線在軸的上方，所以，雖然原點的坐標(0，0)是這個方程的解，但不屬于已知曲線，所以曲線的方程應(yīng)為，它是關(guān)于軸對稱的拋物線，但不包括拋物線的頂點，如圖2中所示。
【練習鞏固】
題目：在正三角形內(nèi)有一動點，已知到三個頂點的距離分別為、、，且有，求點軌跡方程。
分析、略解：首先應(yīng)建立坐標系，以正三角形一邊所在的直線為一個坐標軸，這條邊的垂直平分線為另一個軸，建立直角坐標系比較簡單，如圖3所示。設(shè)、的坐標為、，則的坐標為，的坐標為。
根據(jù)條件，代入坐標可得
化簡得
�、�
由于題目中要求點在三角形內(nèi)，所以，在結(jié)合①式可進一步求出、的范圍，最后曲線方程可表示為
【小結(jié)】師生共同總結(jié)：
�。�1）解析幾何研究研究問題的方法是什么？
�。�2）如何求曲線的方程？
�。�3）請對求解曲線方程的五個步驟進行評價。各步驟的作用，哪步重要，哪步應(yīng)注意什么？
【作業(yè)】課本第72頁練習1，2，3;
高中數(shù)學教案4
教學目標：
1、理解并掌握曲線在某一點處的切線的概念；
2、理解并掌握曲線在一點處的切線的斜率的定義以及切線方程的求法；
3、理解切線概念實際背景，培養(yǎng)學生解決實際問題的能力和培養(yǎng)學生轉(zhuǎn)化
問題的能力及數(shù)形結(jié)合思想。
教學重點：
理解并掌握曲線在一點處的切線的斜率的定義以及切線方程的求法。
教學難點：
用“無限逼近”、“局部以直代曲”的思想理解某一點處切線的斜率。
教學過程：
一、問題情境
1、問題情境。
如何精確地刻畫曲線上某一點處的變化趨勢呢？
如果將點P附近的曲線放大，那么就會發(fā)現(xiàn)，曲線在點P附近看上去有點像是直線。
如果將點P附近的曲線再放大，那么就會發(fā)現(xiàn)，曲線在點P附近看上去幾乎成了直線。事實上，如果繼續(xù)放大，那么曲線在點P附近將逼近一條確定的直線，該直線是經(jīng)過點P的所有直線中最逼近曲線的一條直線。
因此，在點P附近我們可以用這條直線來代替曲線，也就是說，點P附近，曲線可以看出直線（即在很小的范圍內(nèi)以直代曲）。
2、探究活動。
如圖所示，直線l1，l2為經(jīng)過曲線上一點P的兩條直線，
�。�1）試判斷哪一條直線在點P附近更加逼近曲線；
�。�2）在點P附近能作出一條比l1，l2更加逼近曲線的直線l3嗎？
（3）在點P附近能作出一條比l1，l2，l3更加逼近曲線的直線嗎？
二、建構(gòu)數(shù)學
切線定義： 如圖，設(shè)Q為曲線C上不同于P的一點，直線PQ稱為曲線的割線。 隨著點Q沿曲線C向點P運動，割線PQ在點P附近逼近曲線C，當點Q無限逼近點P時，直線PQ最終就成為經(jīng)過點P處最逼近曲線的直線l，這條直線l也稱為曲線在點P處的切線。這種方法叫割線逼近切線。
思考：如上圖，P為已知曲線C上的一點，如何求出點P處的切線方程？
三、數(shù)學運用
例1 試求在點（2，4）處的切線斜率。
解法一 分析：設(shè)P（2，4），Q（xQ，f（xQ）），
則割線PQ的斜率為：
當Q沿曲線逼近點P時，割線PQ逼近點P處的切線，從而割線斜率逼近切線斜率；
當Q點橫坐標無限趨近于P點橫坐標時，即xQ無限趨近于2時，kPQ無限趨近于常數(shù)4。
從而曲線f（x）＝x2在點（2，4）處的切線斜率為4。
解法二 設(shè)P（2，4），Q（xQ，xQ2），則割線PQ的斜率為：
當？x無限趨近于0時，kPQ無限趨近于常數(shù)4，從而曲線f（x）＝x2，在點（2，4）處的切線斜率為4。
練習 試求在x＝1處的切線斜率。
解：設(shè)P（1，2），Q（1＋Δx，（1＋Δx）2＋1），則割線PQ的斜率為：
當？x無限趨近于0時，kPQ無限趨近于常數(shù)2，從而曲線f（x）＝x2＋1在x＝1處的切線斜率為2。
小結(jié) 求曲線上一點處的切線斜率的一般步驟：
（1）找到定點P的坐標，設(shè)出動點Q的.坐標；
�。�2）求出割線PQ的斜率；
（3）當時，割線逼近切線，那么割線斜率逼近切線斜率。
思考 如上圖，P為已知曲線C上的一點，如何求出點P處的切線方程？
解 設(shè)
所以，當無限趨近于0時，無限趨近于點處的切線的斜率。
變式訓(xùn)練
1。已知，求曲線在處的切線斜率和切線方程；
2。已知，求曲線在處的切線斜率和切線方程；
3。已知，求曲線在處的切線斜率和切線方程。
課堂練習
已知，求曲線在處的切線斜率和切線方程。
四、回顧小結(jié)
1、曲線上一點P處的切線是過點P的所有直線中最接近P點附近曲線的直線，則P點處的變化趨勢可以由該點處的切線反映（局部以直代曲）。
2、根據(jù)定義，利用割線逼近切線的方法， 可以求出曲線在一點處的切線斜率和方程。
五、課外作業(yè)
高中數(shù)學教案5
教學目標：
(1)理解子集、真子集、補集、兩個集合相等概念;
(2)了解全集、空集的意義。
(3)掌握有關(guān)子集、全集、補集的符號及表示方法，會用它們正確表示一些簡單的集合，培養(yǎng)學生的符號表示的能力;
(4)會求已知集合的子集、真子集，會求全集中子集在全集中的補集;
(5)能判斷兩集合間的包含、相等關(guān)系，并會用符號及圖形(文氏圖)準確地表示出來，培養(yǎng)學生的數(shù)學結(jié)合的數(shù)學思想;
(6)培養(yǎng)學生用集合的觀點分析問題、解決問題的能力。
教學重點：
子集、補集的概念
教學難點：
弄清元素與子集、屬于與包含之間的區(qū)別
教學用具：
幻燈機
教學過程設(shè)計
(一)導(dǎo)入新課
上節(jié)課我們學習了集合、元素、集合中元素的三性、元素與集合的關(guān)系等知識。
【提出問題】(投影打出)
已知xx，xx，xx，問：
1、哪些集合表示方法是列舉法。
2、哪些集合表示方法是描述法。
3、將集M、集從集P用圖示法表示。
4、分別說出各集合中的元素。
5、將每個集合中的元素與該集合的關(guān)系用符號表示出來、將集N中元素3與集M的關(guān)系用符號表示出來。
6、集M中元素與集N有何關(guān)系、集M中元素與集P有何關(guān)系。
【找學生回答】
1、集合M和集合N;(口答)
2、集合P;(口答)
3、(筆練結(jié)合板演)
4、集M中元素有-1，1;集N中元素有-1，1，3;集P中元素有-1，1、(口答)
5、xx，xx，xx，xx，xx，xx，xx，xx(筆練結(jié)合板演)
6、集M中任何元素都是集N的元素、集M中任何元素都是集P的元素、(口答)
【引入】在上面見到的集M與集N;集M與集P通過元素建立了某種關(guān)系，而具有這種關(guān)系的兩個集合在今后學習中會經(jīng)常出現(xiàn)，本節(jié)將研究有關(guān)兩個集合間關(guān)系的問題、
(二)新授知識
1、子集
(1)子集定義：一般地，對于兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們就說集合A包含于集合B，或集合B包含集合A。
記作：xx讀作：A包含于B或B包含A
當集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A時，則記作：AxxB或BxxA、
性質(zhì)：①xx(任何一個集合是它本身的子集)
②xx(空集是任何集合的子集)
【置疑】能否把子集說成是由原來集合中的部分元素組成的集合?
【解疑】不能把A是B的子集解釋成A是由B中部分元素所組成的集合。
因為B的子集也包括它本身，而這個子集是由B的全體元素組成的空集也是B的'子集，而這個集合中并不含有B中的元素、由此也可看到，把A是B的子集解釋成A是由B的部分元素組成的集合是不確切的。
(2)集合相等：一般地，對于兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B，記作A=B。
例：xx，可見，集合xx，是指A、B的所有元素完全相同。
(3)真子集：對于兩個集合A與B，如果xx，并且xx，我們就說集合A是集合B的真子集，記作：xx(或xx)，讀作A真包含于B或B真包含A。
【思考】能否這樣定義真子集：“如果A是B的子集，并且B中至少有一個元素不屬于A，那么集合A叫做集合B的真子集。”
集合B同它的真子集A之間的關(guān)系，可用文氏圖表示，其中兩個圓的內(nèi)部分別表示集合A，B。
【提問】
(1)xx寫出數(shù)集N，Z，Q，R的包含關(guān)系，并用文氏圖表示。
(2)xx判斷下列寫法是否正確
�、賦xAxx②xxAxx③xx④AxxA
性質(zhì)：
(1)空集是任何非空集合的真子集。若xxAxx，且A≠xx，則xxA;
(2)如果xx，xx，則xx。
例1xx寫出集合xx的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集、
解：集合xx的所有的子集是xx，xx，xx，xx，其中xx，xx，xx是xx的真子集。
【注意】(1)子集與真子集符號的方向。
(2)易混符號
�、佟皒x”與“xx”：元素與集合之間是屬于關(guān)系;集合與集合之間是包含關(guān)系。如xxR，{1}xx{1，2，3}
�、趝0}與xx：{0}是含有一個元素0的集合，xx是不含任何元素的集合。
如：xx{0}。不能寫成xx={0}，xx∈{0}
例2xx見教材P8(解略)
例3xx判斷下列說法是否正確，如果不正確，請加以改正、
(1)xx表示空集;
(2)空集是任何集合的真子集;
(3)xx不是xx;
(4)xx的所有子集是xx;
(5)如果xx且xx，那么B必是A的真子集;
(6)xx與xx不能同時成立、
解：(1)xx不表示空集，它表示以空集為元素的集合，所以(1)不正確;
(2)不正確、空集是任何非空集合的真子集;
(3)不正確、xx與xx表示同一集合;
(4)不正確、xx的所有子集是xx;
(5)正確
(6)不正確、當xx時，xx與xx能同時成立、
例4xx用適當?shù)姆?xx，xx)填空：
(1)xx;xx;xx;
(2)xx;xx;
(3)xx;
(4)設(shè)xx，xx，xx，則AxxBxxC、
解：(1)0xx0xx;
(2)xx=xx，xx;
(3)xx，xx∴xx;
(4)A，B，C均表示所有奇數(shù)組成的集合，∴A=B=C、
【練習】教材P9
用適當?shù)姆?xx，xx)填空：
(1)xx;xx(5)xx;
(2)xx;xx(6)xx;
(3)xx;xx(7)xx;
(4)xx;xx(8)xx、
解：(1)xx;(2)xx;(3)xx;(4)xx;(5)=;(6)xx;(7)xx;(8)xx、
提問：見教材P9例子
(二)xx全集與補集
1、補集：一般地，設(shè)S是一個集合，A是S的一個子集(即xx)，由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集(或余集)，記作xx，即
、
A在S中的補集xx可用右圖中陰影部分表示、
性質(zhì)：xxS(xxSA)=A
如：(1)若S={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，則xxSA={2，4，6};
(2)若A={0}，則xxNA=N;
(3)xxRQ是無理數(shù)集。
2、全集：
如果集合S中含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看作一個全集，全集通常用xx表示。
注：xx是對于給定的全集xx而言的，當全集不同時，補集也會不同。
例如：若xx，當xx時，xx;當xx時，則xx。
例5xx設(shè)全集xx，xx，xx，判斷xx與xx之間的關(guān)系。
解：
練習：見教材P10練習
1、填空：
xx，xx，那么xx，xx。
解：xx，
2、填空：
(1)如果全集xx，那么N的補集xx;
(2)如果全集，xx，那么xx的補集xx(xx)=xx、
解：(1)xx;(2)xx。
(三)小結(jié)：本節(jié)課學習了以下內(nèi)容：
1、五個概念(子集、集合相等、真子集、補集、全集，其中子集、補集為重點)
2、五條性質(zhì)
(1)空集是任何集合的子集。ΦxxA
(2)空集是任何非空集合的真子集。ΦxxAxx(A≠Φ)
(3)任何一個集合是它本身的子集。
(4)如果xx，xx，則xx、
(5)xxS(xxSA)=A
3、兩組易混符號：(1)“xx”與“xx”：(2){0}與
(四)課后作業(yè)：見教材P10習題1、2
高中數(shù)學教案6
教學目標
1．了解映射的概念，象與原象的概念，和一一映射的概念．
�。�1）明確映射是特殊的對應(yīng)即由集合 ，集合 和對應(yīng)法則f三者構(gòu)成的一個整體，知道映射的特殊之處在于必須是多對一和一對一的對應(yīng)；
�。�2）能準確使用數(shù)學符號表示映射， 把握映射與一一映射的區(qū)別；
（3）會求給定映射的指定元素的象與原象，了解求象與原象的方法．
2．在概念形成過程中，培養(yǎng)學生的觀察，比較和歸納的能力．
3．通過映射概念的學習，逐步提高學生對知識的探究能力．
教學建議
教材分析
�。�1）知識結(jié)構(gòu)
映射是一種特殊的對應(yīng)，一一映射又是一種特殊的映射，而且函數(shù)也是特殊的映射，它們之間的關(guān)系可以通過下圖表示出來，如圖：
由此我們可從集合的包含關(guān)系中幫助我們把握相關(guān)概念間的區(qū)別與聯(lián)系．
�。�2）重點，難點分析
本節(jié)的教學重點和難點是映射和一一映射概念的形成與認識．
�、儆成涞�'概念是比較抽象的概念，它是在初中所學對應(yīng)的基礎(chǔ)上發(fā)展而來．教學中應(yīng)特別強調(diào)對應(yīng)集合 B中的唯一這點要求的理解；
映射是學生在初中所學的對應(yīng)的基礎(chǔ)上學習的，對應(yīng)本身就是由三部分構(gòu)成的整體，包括集 合A和集合B及對應(yīng)法則f，由于法則的不同，對應(yīng)可分為一對一，多對一，一對多和多對多． 其中只有一對一和多對一的能構(gòu)成映射，由此可以看到映射必是“對B中之唯一”，而只要是對應(yīng)就必須保證讓A中之任一與B中元素相對應(yīng)，所以滿足一對一和多對一的對應(yīng)就能體現(xiàn)出“任一對唯一”．
�、诙灰挥成溆衷谟成涞幕A(chǔ)上增加新的要求，決定了它在學習中是比較困難的．
教法建議
�。�1）在映射概念引入時，可先從學生熟悉的對應(yīng)入手， 選擇一些具體的生活例子，然后再舉一些數(shù)學例子，分為一對多、多對一、多對一、一對一四種情況，讓學生認真觀察，比較，再引導(dǎo)學生發(fā)現(xiàn)其中一對一和多對一的對應(yīng)是映射，逐步歸納概括出映射的基本特征，讓學生的認識從感性認識到理性認識．
�。�2）在剛開始學習映射時，為了能讓學生看清映射的構(gòu)成，可以選擇用圖形表示映射，在集合的選擇上可選擇能用列舉法表示的有限集，法則盡量用語言描述，這樣的表示方法讓學生可以比較直觀的認識映射，而后再選擇用抽象的數(shù)學符號表示映射，比如：
�。�3）對于學生層次較高的學�？梢栽诮o出定義后讓學生根據(jù)自己的理解舉出映射的例子，教師也給出一些映射的例子，讓學生從中發(fā)現(xiàn)映射的特點，并用自己的語言描述出來，最后教師加以概括，再從中引出一一映射概念；對于學生層次較低的學校，則可以由教師給出一些例子讓學生觀察，教師引導(dǎo)學生發(fā)現(xiàn)映射的特點，一起概括．最后再讓學生舉例，并逐步增加要求向一一映射靠攏，引出一一映射概念．
�。�4）關(guān)于求象和原象的問題，應(yīng)在計算的過程中總結(jié)方法，特別是求原象的方法是解方程或方程組，還可以通過方程組解的不同情況(有唯一解，無解或有無數(shù)解)加深對映射的認識．
（5）在教學方法上可以采用啟發(fā)，討論的形式，讓學生在實例中去觀察，比較，啟發(fā)學生尋找共性，共同討論映射的特點，共同舉例，計算，最后進行小結(jié)，教師要起到點撥和深化的作用．
教學設(shè)計方案
2.1映射
教學目標(1)了解映射的概念，象與原象及一一映射的概念．
(2)在概念形成過程中，培養(yǎng)學生的觀察，分析對比，歸納的能力．
(3)通過映射概念的學習，逐步提高學生的探究能力．
教學重點難點：:映射概念的形成與認識．
教學用具：實物投影儀
教學方法：啟發(fā)討論式
教學過程：
一、引入
在初中，我們已經(jīng)初步探討了函數(shù)的定義并研究了幾類簡單的常見函數(shù)．在高中，將利用前面集合有關(guān)知識，利用映射的觀點給出函數(shù)的定義．那么映射是什么呢?這就是我們今天要詳細的概念．
二、新課
在前一章集合的初步知識中，我們學習了元素與集合及集合與集合之間的關(guān)系，而映射是重點研究兩個集合的元素與元素之間的對應(yīng)關(guān)系．這要先從我們熟悉的對應(yīng)說起(用投影儀打出一些對應(yīng)關(guān)系，共6個)
我們今天要研究的是一類特殊的對應(yīng)，特殊在什么地方呢?
提問1：在這些對應(yīng)中有哪些是讓A中元素就對應(yīng)B中唯一一個元素?
讓學生仔細觀察后由學生回答，對有爭議的，或漏選，多選的可詳細說明理由進行討論．最后得出(1)，(2)，(5)，(6)是符合條件的(用投影儀將這幾個集中在一起)
提問2：能用自己的語言描述一下這幾個對應(yīng)的共性嗎？
經(jīng)過師生共同推敲，將映射的定義引出．(主體內(nèi)容由學生完成，教師做必要的補充)
高中數(shù)學教案7
1.課題填寫課題名稱（高中代數(shù)類課題）
2.教學目標
(1)知識與技能：
通過本節(jié)課的學習，掌握......知識，提高學生解決實際問題的能力；
(2)過程與方法：
通過......（討論、發(fā)現(xiàn)、探究），提高......（分析、歸納、比較和概括）的能力；
(3)情感態(tài)度與價值觀：
通過本節(jié)課的學習，增強學生的學習興趣，將數(shù)學應(yīng)用到實際生活中，增加學生數(shù)學學習的樂趣。
3.教學重難點
(1)教學重點：本節(jié)課的知識重點
(2)教學難點：易錯點、難以理解的知識點
4.教學方法（一般從中選擇3個就可以了）
(1)討論法
(2)情景教學法
(3)問答法
(4)發(fā)現(xiàn)法
(5)講授法
5.教學過程
(1)導(dǎo)入
簡單敘述導(dǎo)入課題的方式和方法（例：復(fù)習、類比、情境導(dǎo)出本節(jié)課的課題）
(2)新授課程（一般分為三個小步驟）
�、俸唵沃v解本節(jié)課基礎(chǔ)知識點（例：奇函數(shù)的定義）。
�、跉w納總結(jié)該課題中的重點知識內(nèi)容，尤其對該注意的一些情況設(shè)置易錯點，進行強調(diào)�？梢栽O(shè)計分組討論環(huán)節(jié)（分組判斷幾組函數(shù)圖像是否為奇函數(shù)，并歸納奇函數(shù)圖像的特點。設(shè)置定義域不關(guān)于原點對稱的函數(shù)是否為奇函數(shù)的'易錯點）。
�、弁卣寡由欤瑢⑺鶎W知識拓展延伸到實際題目中，去解決實際生活中的問題。
�。ㄔ谛率谡n里面一定要表下出講課的大體流程，但是不必太過詳細。）
(3)課堂小結(jié)
教師提問，學生回答本節(jié)課的收獲。
(4)作業(yè)提高
布置作業(yè)（盡量與實際生活相聯(lián)系，有所創(chuàng)新）。
6.教學板書
高中數(shù)學教案8
（一）教學具準備
直尺，投影儀.
�。ǘ┙虒W目標
1.掌握，的定義域、值域、最值、單調(diào)區(qū)間.
2.會求含有、的三角式的定義域.
�。ㄈ┙虒W過程
1.設(shè)置情境
研究函數(shù)就是要討論一些性質(zhì)，是函數(shù)，我們當然也要探討它的一些屬性.本節(jié)課，我們就來研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最基本的兩條性質(zhì).
2.探索研究
師：同學們回想一下，研究一個函數(shù)常要研究它的哪些性質(zhì)？
生：定義域、值域，單調(diào)性、奇偶性、等等.
師：很好，今天我們就來探索，兩條最基本的性質(zhì)定義域、值域.（板書課題正、余弦函數(shù)的定義域、值域.）
師：請同學看投影，大家仔細觀察一下正弦、余弦曲線的圖像.
師：請同學思考以下幾個問題：
�。�1）正弦、余弦函數(shù)的定義域是什么？
（2）正弦、余弦函數(shù)的值域是什么？
�。�3）他們最值情況如何？
�。�4）他們的正負值區(qū)間如何分？
�。�5）的解集如何？
師生一起歸納得出：
�。�1）正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域都是.
�。�2）正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的`值域都是即，稱為正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的有界性.
�。�3）取最大值、最小值情況：
正弦函數(shù)，當時，函數(shù)值取最大值1，當時，函數(shù)值取最小值－1.
余弦函數(shù)，當，時，函數(shù)值取最大值1，當，時，函數(shù)值取最小值－1.
�。�4）正負值區(qū)間：
（5）零點：
3.例題分析
【例1】求下列函數(shù)的定義域、值域：
（1）；（2）；（3）.
解：（1），（2）由
又∵，∴
∴定義域為，值域為.
�。�3）由，又由
∴
∴定義域為，值域為.
指出：求值域應(yīng)注意用到或有界性的條件.
【例2】求下列函數(shù)的最大值，并求出最大值時的集合：
�。�1），；（2），；
�。�3）（4）.
解：（1）當，即時，取得最大值
∴函數(shù)的最大值為2，取最大值時的集合為.
�。�2）當時，即時，取得最大值.
∴函數(shù)的最大值為1，取最大值時的集合為.
（3）若，此時函數(shù)為常數(shù)函數(shù).
若時，∴時，即時，函數(shù)取最大值，∴時函數(shù)的最大值為，取最大值時的集合為.
（4）若，則當時，函數(shù)取得最大值.
若，則，此時函數(shù)為常數(shù)函數(shù).
若，當時，函數(shù)取得最大值.
∴當時，函數(shù)取得最大值，取得最大值時的集合為；當時，函數(shù)取得最大值，取得最大值時的集合為，當時，函數(shù)無最大值.
指出：對于含參數(shù)的最大值或最小值問題，要對或的系數(shù)進行討論.
思考：此例若改為求最小值，結(jié)果如何？
【例3】要使下列各式有意義應(yīng)滿足什么條件？
（1）；（2）.
解：（1）由，∴當時，式子有意義.
�。�2）由，即
∴當時，式子有意義.
4.演練反饋（投影）
�。�1）函數(shù)，的簡圖是
�。�2）函數(shù)的最大值和最小值分別為
A.2，－2 B.4，0 C.2，0 D.4，－4
�。�3）函數(shù)的最小值是
A.B.－2 C.D.
�。�4）如果與同時有意義，則的取值范圍應(yīng)為
A.B.C.D.或
（5）與都是增函數(shù)的區(qū)間是
A.，B.，C.，D.，（6）函數(shù)的定義域________，值域________，時的集合為_________.
參考答案：1.B 2.B 3.A 4.C 5.D
6.；
5.總結(jié)提煉
�。�1），的定義域均為.
�。�2）、的值域都是
�。�3）有界性：
�。�4）最大值或最小值都存在，且取得極值的集合為無限集.
�。�5）正負敬意及零點，從圖上一目了然.
�。�6）單調(diào)區(qū)間也可以從圖上看出.
（四）板書設(shè)計
1.定義域
2.值域
3.最值
4.正負區(qū)間
5.零點
例1
例2
例3
課堂練習
課后思考題：求函數(shù)的最大值和最小值及取最值時的集合
提示：
高中數(shù)學教案9
教學目標：
1、使學生了解角的形成，理解角的概念掌握角的各種表示法；
2、通過觀察、操作培養(yǎng)學生的觀察能力和動手操作能力。
3、使學生掌握度、分、秒的進位制,會作度、分、秒間的單位互化
4、采用自學與小組合作學習相結(jié)合的方法，培養(yǎng)學生主動參與、勇于探究的精神。
教學重點：
理解角的概念，掌握角的三種表示方法
教學難點：
掌握度、分、秒的進位制, ,會作度、分、秒間的單位互化
教學手段：
教具：電腦課件、實物投影、量角器
學具：量角器需測量的角
教學過程：
一、建立角的概念
�。ㄒ唬┮虢牵ɡ谜n件演示）
1、從生活中引入
提問：
A、以前我們曾經(jīng)認識過角，那你們能從這兩個圖形中指出哪些地方是角嗎？
B、在我們的生活當中存在著許許多多的角。一起看一看。誰能從這些常用的物品中找出角？
2、從射線引入
提問：
A、昨天我們認識了射線，想從一點可以引出多少條射線？
B、如果從一點出發(fā)任意取兩條射線，那出現(xiàn)的是什么圖形？
C、哪兩條射線可以組成一個角？誰來指一指。
（二）認識角，總結(jié)角的定義
3、 過渡：角是怎么形成的呢？一起看
�。�1）、演示：老師在這畫上一個點，現(xiàn)在從這點出發(fā)引出一條射線，再從這點出發(fā)引出第二條射線。
提問：觀察從這點引出了幾條射線？此時所組成的圖形是什么圖形？
（2）、判斷下列哪些圖形是角。
�。ā蹋� （×） （√） （×） （√）
為何第二幅和第四幅圖形不是角？（學生回答）
誰能用自己的話來概括一下怎樣組成的圖形叫做角？
總結(jié)：有公共端點的兩條射線所組成的圖形叫做角（angle）
角的第二定義：角也可以看做由一條射線繞端點旋轉(zhuǎn)所形成的圖形.如下圖中的角，可以看做射線OA繞端點0按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到OB所形成的我們把OA叫做角的始邊，OB叫做角的終邊.
B
0 A
4、認識角的各部分名稱，明確頂點、邊的作用
�。�1）觀看角的圖形提問：這個點叫什么？這兩條射線叫什么？（學生邊說師邊標名稱）
�。�2）角可以畫在本上、黑板上，那角的位置是由誰決定的?
（3）頂點可以確定角的位置，從頂點引出的兩條邊可以組成一個角。
5、學會用符號表示角
提問：那么,角的符號是什么?該怎么寫,怎么讀的呢?(電腦顯示)
�。�1）可以標上三個大寫字母,寫作:∠ABC或∠CBA,讀作:角ABC或角CBA.
（2）觀察這兩種方法,有什么特點?(字母B都在中間)
�。�3）所以,在只有一個角的時候,我們還可以寫作: ∠B,讀作:角B
�。�4）為了方便,有時我們還可以標上數(shù)字,寫作∠1,讀作:角1
（5）注:區(qū)別 “∠”和“ a ， b 是正數(shù)，且，求證
�。鄯治觯菀李}目特點，作差后重新組項，采用因式分解來變形.
證明：（見課本）
［點評］因式分解也是對差式變形的一種常用方法.此例將差式變形為幾個因式的積的形式，在確定符號中，表達過程較復(fù)雜，如何書寫證明過程，例3給出了一個好的示范.
�。埸c評］解這道題在判斷符號時用了分類討論，分類討論是重要的數(shù)學思想方法.要理解為什么分類，怎樣分類.分類時要不重不漏.
�。圩帜唬堇�5甲、乙兩人同時同地沿同一條路線走到同一地點.甲有一半時間以速度 m 行走，另一半時間以速度 n 行走；有一半路程乙以速度 m 行走，另一半路程以速度 n 行走，如果，問甲、乙兩人誰先到達指定地點.
[分析]設(shè)從出發(fā)地點至指定地點的'路程為，甲、乙兩人走完這段路程用的時間分別為，要回答題目中的問題，只要比較、的大小就可以了.
解：（見課本）
�。埸c評］此題是一個實際問題，學習了如何利用比較法證明不等式的思想方法解決有關(guān)實際問題.要培養(yǎng)自己學數(shù)學，用數(shù)學的良好品質(zhì).
設(shè)計意圖：鞏固比較法證明不等式的方法，掌握因式分解的變形方法和分類討論確定符號的方法.培養(yǎng)學生應(yīng)用知識解決實際問題的能力.
【課堂練習】
（教師活動）教師打出字幕練習，要求學生獨立思考，完成練習；請甲、乙兩位學生板演；巡視學生的解題情況，對正確的給予肯定，對偏差及時糾正；點評練習中存在的問題.
（學生活動）在筆記本上完成練習，甲、乙兩位同學板演.
�。圩帜唬菥毩暎�1.設(shè)，比較與的大小.
2.已知，求證
設(shè)計意圖：掌握比較法證明不等式及思想方法的應(yīng)用.靈活掌握因式分解法對差式的變形和分類討論確定符號.反饋信息，調(diào)節(jié)課堂教學.
【分析歸納、小結(jié)解法】
�。ń處熁顒樱┓治鰵w納例題的解題過程，小結(jié)對差式變形、確定符號的常用方法和利用不等式解決實際問題的解題步驟.
（學生活動）與教師一道小結(jié)，并記錄在筆記本上.
1.比較法不僅是證明不等式的一種基本、重要的方法，也是比較兩個式子大小的一種重要方法.
2.對差式變形的常用方法有：配方法，通分法，因式分解法等.
3.會用分類討論的方法確定差式的符號.
4.利用不等式解決實際問題的解題步驟：①類比列方程解應(yīng)用題的步驟.②分析題意，設(shè)未知數(shù)，找出數(shù)量關(guān)系（函數(shù)關(guān)系，相等關(guān)系或不等關(guān)系），③列出函數(shù)關(guān)系、等式或不等式，④求解，作答.
設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生分析歸納問題的能力，掌握用比較法證明不等式的知識體系.
�。ㄈ┬〗Y(jié)
（教師活動）教師小結(jié)本節(jié)課所學的知識及數(shù)學思想與方法.
�。▽W生活動）與教師一道小結(jié)，并記錄筆記.
本節(jié)課學習了對差式變形的一種常用方法因式分解法；對符號確定的分類討論法；應(yīng)用比較法的思想解決實際問題.
通過學習比較法證明不等式，要明確比較法證明不等式的理論依據(jù)，理解轉(zhuǎn)化，使問題簡化是比較法證明不等式中所蘊含的重要數(shù)學思想，掌握求差后對差式變形以及判斷符號的重要方法，并在以后的學習中繼續(xù)積累方法，培養(yǎng)用數(shù)學知識解決實際問題的能力.
設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生對所學的知識進行概括歸納的能力，鞏固所學的知識，領(lǐng)會化歸、類比、分類討論的重要數(shù)學思想方法.
�。ㄋ模┎贾米鳂I(yè)
1.課本作業(yè)：P17 7、8。
2，思考題：已知，求證
3.研究性題：對于同樣的距離，船在流水中來回行駛一次的時間和船在靜水中來回行駛一次的時間是否相等？（假設(shè)船在流水中的速度和部在靜水中的速度保持不變）
設(shè)計意圖：思考題讓學生了解商值比較法，掌握分類討論的思想.研究性題是使學生理論聯(lián)系實際，用數(shù)學解決實際問題，提高應(yīng)用數(shù)學的能力.
�。ㄎ澹┱n后點評
1.教學評價、反饋調(diào)節(jié)措施的構(gòu)想：本節(jié)課采用啟發(fā)引導(dǎo)，講練結(jié)合的授課方式，發(fā)揮教師主導(dǎo)作用，體現(xiàn)學生主體地位，通過啟發(fā)誘導(dǎo)學生深入思考問題，解決問題，反饋學習信息，調(diào)節(jié)教學活動.
2.教學措施的設(shè)計：由于對差式變形，確定符號是掌握比較法證明不等式的關(guān)鍵，本節(jié)課在上節(jié)課的基礎(chǔ)上繼續(xù)學習差式變形的方法和符號的確定，例3和例4分別使學生掌握因式分解變形和分類討論確定符號，例5使學生對所學的知識會應(yīng)用.例題設(shè)計目的在于突出重點，突破難點，學會應(yīng)用
高中數(shù)學教案10
【教學目標】
1.知識與技能
(1)理解等差數(shù)列的定義，會應(yīng)用定義判斷一個數(shù)列是否是等差數(shù)列：
(2)賬務(wù)等差數(shù)列的通項公式及其推導(dǎo)過程：
(3)會應(yīng)用等差數(shù)列通項公式解決簡單問題。
2.過程與方法
在定義的理解和通項公式的推導(dǎo)、應(yīng)用過程中，培養(yǎng)學生的觀察、分析、歸納能力和嚴密的邏輯思維的能力，體驗從特殊到一般，一般到特殊的認知規(guī)律，提高熟悉猜想和歸納的能力，滲透函數(shù)與方程的思想。
3.情感、態(tài)度與價值觀
通過教師指導(dǎo)下學生的自主學習、相互交流和探索活動，培養(yǎng)學生主動探索、用于發(fā)現(xiàn)的求知精神，激發(fā)學生的學習興趣，讓學生感受到成功的喜悅。在解決問題的過程中，使學生養(yǎng)成細心觀察、認真分析、善于總結(jié)的良好習慣。
【教學重點】
�、俚炔顢�(shù)列的概念;②等差數(shù)列的通項公式
【教學難點】
�、倮斫獾炔顢�(shù)列“等差”的特點及通項公式的含義;②等差數(shù)列的通項公式的推導(dǎo)過程.
【學情分析】
我所教學的學生是我校高一(7)班的學生(平行班學生)，經(jīng)過一年的高中數(shù)學學習，大部分學生知識經(jīng)驗已較為豐富，他們的智力發(fā)展已到了形式運演階段，具備了較強的抽象思維能力和演繹推理能力，但也有一部分學生的基礎(chǔ)較弱，學習數(shù)學的興趣還不是很濃，所以我在授課時注重從具體的生活實例出發(fā)，注重引導(dǎo)、啟發(fā)、研究和探討以符合這類學生的心理發(fā)展特點，從而促進思維能力的進一步發(fā)展。
【設(shè)計思路】
1、教法
�、賳l(fā)引導(dǎo)法：這種方法有利于學生對知識進行主動建構(gòu);有利于突出重點，突破難點;有利于調(diào)動學生的主動性和積極性，發(fā)揮其創(chuàng)造性.
②分組討論法：有利于學生進行交流，及時發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，調(diào)動學生的積極性.
�、壑v練結(jié)合法：可以及時鞏固所學內(nèi)容，抓住重點，突破難點.
2、學法
引導(dǎo)學生首先從三個現(xiàn)實問題(數(shù)數(shù)問題、水庫水位問題、儲蓄問題)概括出數(shù)組特點并抽象出等差數(shù)列的概念;接著就等差數(shù)列概念的特點，推導(dǎo)出等差數(shù)列的通項公式;可以對各種能力的同學引導(dǎo)認識多元的推導(dǎo)思維方法.
【教學過程】
一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課
1、從0開始，將5的倍數(shù)按從小到大的順序排列，得到的數(shù)列是什么?
2、水庫管理人員為了保證優(yōu)質(zhì)魚類有良好的生活環(huán)境，用定期放水清庫的辦法清理水庫中的雜魚.如果一個水庫的水位為18m，自然放水每天水位降低2.5m，低降至5m.那么從開始放水算起，到可以進行清理工作的那天，水庫每天的水位(單位：m)組成一個什么數(shù)列?
3、我國現(xiàn)行儲蓄制度規(guī)定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息加入本息計算下一期的利息.按照單利計算本利和的公式是：本利和=本金×(1+利率×存期).按活期存入10000元錢，年利率是0.72%，那么按照單利，5年內(nèi)各年末的本利和(單位：元)組成一個什么數(shù)列?
教師：以上三個問題中的數(shù)蘊涵著三列數(shù).
學生：
�、�0，5，10，15，20，25，….
②18，15.5，13，10.5，8，5.5.
�、�10072，10144，10216，10288，10360.
(設(shè)置意圖：從實例引入,實質(zhì)是給出了等差數(shù)列的現(xiàn)實背景,目的是讓學生感受到等差數(shù)列是現(xiàn)實生活中大量存在的數(shù)學模型.通過分析,由特殊到一般，激發(fā)學生學習探究知識的自主性，培養(yǎng)學生的歸納能力.
二、觀察歸納，形成定義
①0，5，10，15，20，25，….
�、�18，15.5，13，10.5，8，5.5.
�、�10072，10144，10216，10288，10360.
思考1上述數(shù)列有什么共同特點?
思考2根據(jù)上數(shù)列的共同特點，你能給出等差數(shù)列的一般定義嗎?
思考3你能將上述的文字語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學符號語言嗎?
教師：引導(dǎo)學生思考這三列數(shù)具有的共同特征，然后讓學生抓住數(shù)列的特征，歸納得出等差數(shù)列概念.
學生：分組討論，可能會有不同的答案：前數(shù)和后數(shù)的差符合一定規(guī)律;這些數(shù)都是按照一定順序排列的…只要合理教師就要給予肯定.
教師引導(dǎo)歸納出：等差數(shù)列的定義;另外，教師引導(dǎo)學生從數(shù)學符號角度理解等差數(shù)列的定義.
(設(shè)計意圖：通過對一定數(shù)量感性材料的觀察、分析，提煉出感性材料的本質(zhì)屬性;使學生體會到等差數(shù)列的規(guī)律和共同特點;一開始抓�。骸皬牡诙椘�，每一項與它的前一項的.差為同一常數(shù)”，落實對等差數(shù)列概念的準確表達.)
三、舉一反三，鞏固定義
1、判定下列數(shù)列是否為等差數(shù)列?若是，指出公差d.
(1)1,1,1,1,1;
(2)1,0,1,0,1;
(3)2,1,0,-1,-2;
(4)4,7,10,13,16.
教師出示題目,學生思考回答.教師訂正并強調(diào)求公差應(yīng)注意的問題.
注意：公差d是每一項(第2項起)與它的前一項的差，防止把被減數(shù)與減數(shù)弄顛倒，而且公差可以是正數(shù)，負數(shù)，也可以為0.
(設(shè)計意圖：強化學生對等差數(shù)列“等差”特征的理解和應(yīng)用).
2、思考4:設(shè)數(shù)列{an}的通項公式為an=3n+1，該數(shù)列是等差數(shù)列嗎?為什么?
(設(shè)計意圖：強化等差數(shù)列的證明定義法)
四、利用定義，導(dǎo)出通項
1、已知等差數(shù)列：8，5，2，…，求第200項?
2、已知一個等差數(shù)列{an｝的首項是a1，公差是d，如何求出它的任意項an呢?
教師出示問題，放手讓學生探究，然后選擇列式具有代表性的上去板演或投影展示.根據(jù)學生在課堂上的具體情況進行具體評價、引導(dǎo)，總結(jié)推導(dǎo)方法，體會歸納思想以及累加求通項的方法;讓學生初步嘗試處理數(shù)列問題的常用方法.
(設(shè)計意圖：引導(dǎo)學生觀察、歸納、猜想，培養(yǎng)學生合理的推理能力.學生在分組合作探究過程中，可能會找到多種不同的解決辦法，教師要逐一點評，并及時肯定、贊揚學生善于動腦、勇于創(chuàng)新的品質(zhì)，激發(fā)學生的創(chuàng)造意識.鼓勵學生自主解答，培養(yǎng)學生運算能力)
五、應(yīng)用通項，解決問題
1、判斷100是不是等差數(shù)列2，9，16，…的項?如果是，是第幾項?
2、在等差數(shù)列{an}中，已知a5=10，a12=31，求a1，d和an.
3、求等差數(shù)列3,7,11，…的第4項和第10項
教師：給出問題，讓學生自己操練，教師巡視學生答題情況.
學生：教師叫學生代表總結(jié)此類題型的解題思路，教師補充：已知等差數(shù)列的首項和公差就可以求出其通項公式
(設(shè)計意圖：主要是熟悉公式,使學生從中體會公式與方程之間的聯(lián)系.初步認識“基本量法”求解等差數(shù)列問題.)
高中數(shù)學教案11
教學目標
�。�1）了解線性規(guī)劃的意義以及線性約束條件、線性目標函數(shù)、線性規(guī)化問題、可行解、可行域以及最優(yōu)解等基本概念；
�。�2）了解線性規(guī)劃問題的圖解法，并能應(yīng)用它解決一些簡單的實際問題；
（3）培養(yǎng)學生觀察、聯(lián)想以及作圖的能力，滲透集合、化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，提高學生“建�！焙徒鉀Q實際問題的能力；
�。�4）結(jié)合教學內(nèi)容，培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣和“用數(shù)學”的意識，激勵學生勇于創(chuàng)新．
重點難點
理解二元一次不等式表示平面區(qū)域是教學重點。
如何擾實際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，并給出解答是教學難點。
教學步驟
�。ㄒ唬┮胄抡n
我們已研究過以二元一次不等式組為約束條件的二元線性目標函數(shù)的'線性規(guī)劃問題。那么是否有多個兩個變量的線性規(guī)劃問題呢？又什么樣的問題不用線性規(guī)劃知識來解決呢？
高中數(shù)學教案12
1. 幽默風趣的你，平時在班里話語不多，也不張揚，但是，你在無意中的表現(xiàn)仍然贏得了很好的人際關(guān)系，學習上你認真刻苦，也能及時的完成作業(yè)，但是我覺得你總是沒把全部的心思用在學習上，不然以你的聰明，應(yīng)該保持在前三名才對啊，加油吧，也許關(guān)注學習成績對你才是更有意義的事!
2. 身為紀律委員的你，認真負責，以身作則，生活上的你平易近人，與同學關(guān)系融洽，學習上你勤奮刻苦，尤其在英語的.學習上，顯示出了你的語言天賦，我覺得，假如你能把這份自信和興趣用到其他的學科學習中，也一定會收獲很多的!加油吧!
3. 你能嚴格遵守校規(guī)，上課認真聽講，作業(yè)完成認真，樂于助人，愿意幫助同學，大掃除時你不怕苦，不怕累，但是英語方面還不夠給力，所以，如果再投入一點，定會取得更好的結(jié)果，而且你還是一個愿意動腦筋的好學生，如果繼續(xù)保持下去定會取得驕人的成績!
4. 你是個懂禮貌明事理的孩子，你能嚴格遵守班級紀律，熱愛集體，對待學習態(tài)度端正，上課能夠?qū)Ｐ穆犞v，課下能夠認真完成作業(yè)。你的學習方法有待改進，若能做到學習時心無旁騖就好了，掌握知識也不夠牢固，思維能力要進一步培養(yǎng)和提高，平時善于多動筆認真作好筆記，多開動腦筋，相信你一定能在下學期更得更大的進步! 你學習認真刻苦，也能善于思考，更十分活潑，并能嚴格遵守班級和宿舍紀律，上課你能認真聽講，做作業(yè)時你十分專注，常常愿意花功夫鉆研難題，與同學相處也十分融洽，但若能在認真做作業(yè)的同時，將速度提上去，我相信你會做得更好。要多講究學習方法，不能靠熬夜來完成學習任務(wù)，提高學習效率，老師相信你一定能通過自己的努力取得更好的成績!
5. 雖然你個頭小，但每次你領(lǐng)讀時的那股認真勁兒，令老師暗暗稱贊。你尊敬老師，和同學能和睦相處。甜美可愛的你，經(jīng)過不斷的努力，你會更出色的!
6. 你是個活潑可愛的孩子，課堂上，你非常投入地學習著，朗讀課文時數(shù)你最有感情。中午你還主動給老師捶背，真是個會關(guān)心人的孩子，老師謝謝你。你十分喜愛讀課外書，不過課上可不能偷看啊!愿書成為你的好朋友。
7. 學習中你能嚴格要求自己，這是你永不落敗的秘訣。老師希望你能借助良好的學習方法，抓緊一切時間，笑在最后的一定是你!
8. 許麗君——你思想上進，踏實穩(wěn)重，誠實謙虛，尊敬老師。黑板報中有你傾注的心血，集體榮譽簿里有你的功勞。但學習的主動精神不夠，競爭意識不強，也很少看到你向老師請教，成績進步不明顯。請相信：世上沒有比腳更長的路，也沒有比心更高的山!望今后大膽進取，多思多問，發(fā)揮你的聰明才智，進一步激發(fā)活力，提高學習效率，持之以恒，美好的明天屬于你!
9. 每天你都背著書包高高興興地來上學，學到了不少的知識，可惜只能記住很少的一部分。希望你改進學習方法，提高學習效率，在下學期有更大的進步!
10. 你言語不多，但待人誠懇、禮貌，作風踏實，品學兼優(yōu)，熱愛班級，關(guān)愛同學，勤奮好學，思維敏捷，成績優(yōu)秀。愿你扎實各科基礎(chǔ)，堅持不懈，!一定能考上重點! 優(yōu)秀的男生肯定是逗人喜歡的，老師希望你能一如既往的優(yōu)秀，把這種優(yōu)秀保持在你人生的每一階段中。你的人生就是輝煌如意的!
高中數(shù)學教案13
一、向量的概念
1、既有又有的量叫做向量。用有向線段表示向量時，有向線段的長度表示向量的，有向線段的箭頭所指的方向表示向量的
2、叫做單位向量
3、的向量叫做平行向量，因為任一組平行向量都可以平移到同一條直線上，所以平行向量也叫做。零向量與任一向量平行
4、且的向量叫做相等向量
5、叫做相反向量
二、向量的表示方法：
幾何表示法、字母表示法、坐標表示法
三、向量的加減法及其坐標運算
四、實數(shù)與向量的乘積
定義：實數(shù) λ 與向量 的積是一個向量，記作λ
五、平面向量基本定理
如果e1、e2是同一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1,λ2，使a=λ1e1+λ2e2 ，其中e1，e2叫基底
六、向量共線/平行的充要條件
七、非零向量垂直的充要條件
八、線段的.定比分點
設(shè)是上的 兩點，p是上xx的任意一點，則存在實數(shù)，使xxx，則為點p分有向線段所成的比，同時，稱p為有向線段的定比分點
定比分點坐標公式及向量式
九、平面向量的數(shù)量積
（1）設(shè)兩個非零向量a和b，作oa=a，ob=b，則∠aob=θ叫a與b的夾角，其范圍是[0，π]，|b|cosθ叫b在a上的投影
�。�2）|a||b|cosθ叫a與b的數(shù)量積，記作a·b，即 a·b=|a||b|cosθ
�。�3）平面向量的數(shù)量積的坐標表示
十、平移
典例解讀
1、給出下列命題：①若|a|=|b|，則a=b;②若a，b，c，d是不共線的四點，則ab= dc是四邊形abcd為平行四邊形的充要條件；③若a=b,b=c，則a=c;④a=b的充要條件是|a|=|b|且a∥b;⑤若a∥b,b∥c，則a∥c
其中，正確命題的序號是xx
2、已知a,b方向相同，且|a|=3，|b|=7，則|2a-b|=xxxx
3、若將向量a=(2，1)繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn) 得到向量b，則向量b的坐標為xx
4、下列算式中不正確的是( )
(a) ab+bc+ca=0 (b) ab-ac=bc
(c) 0·ab=0 (d)λ（μa）=（λμ）a
5、若向量a=（1,1)，b=(1,-1)，c=(-1,2)，則c=( ）
?函數(shù)y=x2的圖象按向量a=（2,1)平移后得到的圖象的函數(shù)表達式為( ）
(a)y=(x-2)2-1 (b)y=(x+2)2-1 (c)y=(x-2)2+1 (d)y=(x+2)2+1
7、平面直角坐標系中，o為坐標原點，已知兩點a（3，1)，b(-1，3)，若點c滿足oc=αoa+βob，其中a、β∈r，且α+β=1,則點c的軌跡方程為( ）
(a)3x+2y-11=0 (b)(x-1)2+(y-2)2=5
(c)2x-y=0 (d)x+2y-5=0
8、設(shè)p、q是四邊形abcd對角線ac、bd中點，bc=a,da=b，則 pq=xx
9、已知a(5,-1) b(-1,7) c(1,2)，求△abc中∠a平分線長
10、若向量a、b的坐標滿足a+b=（-2,-1)，a-b=(4,-3)，則a·b等于( ）
(a)-5 (b)5 (c)7 (d)-1
11、若a、b、c是非零的平面向量，其中任意兩個向量都不共線，則( )
(a)(a)2·(b)2=(a·b)2 (b)|a+b|>|a-b|
(c)(a·b)·c-(b·c)·a與b垂直 (d)(a·b)·c-(b·c)·a=0
12、設(shè)a=（1,0)，b=(1,1)，且(a+λb)⊥b，則實數(shù)λ的值是( ）
(a)2 (b)0 (c)1 (d)2
16、利用向量證明：△abc中，m為bc的中點，則 ab2+ac2=2(am2+mb2)
17、在三角形abc中， =(2，3)， =(1，k)，且三角形abc的一個內(nèi)角為直角，求實數(shù)k的值
18、已知△abc中，a(2,-1)，b(3,2)，c(-3,-1)，bc邊上的高為ad，求點d和向量
高中數(shù)學教案14
整體設(shè)計
教學分析
我們在初中的學習過程中，已了解了整數(shù)指數(shù)冪的概念和運算性質(zhì)。從本節(jié)開始我們將在回顧平方根和立方根的基礎(chǔ)上，類比出正數(shù)的n次方根的定義，從而把指數(shù)推廣到分數(shù)指數(shù)。進而推廣到有理數(shù)指數(shù)，再推廣到實數(shù)指數(shù)，并將冪的運算性質(zhì)由整數(shù)指數(shù)冪推廣到實數(shù)指數(shù)冪。
教材為了讓學生在學習之外就感受到指數(shù)函數(shù)的實際背景，先給出兩個具體例子：GDP的增長問題和碳14的衰減問題。前一個問題，既讓學生回顧了初中學過的整數(shù)指數(shù)冪，也讓學生感受到其中的函數(shù)模型，并且還有思想教育價值。后一個問題讓學生體會其中的函數(shù)模型的同時，激發(fā)學生探究分數(shù)指數(shù)冪、無理數(shù)指數(shù)冪的興趣與欲望，為新知識的學習作了鋪墊。
本節(jié)安排的內(nèi)容蘊涵了許多重要的數(shù)學思想方法，如推廣的思想（指數(shù)冪運算律的推廣）、類比的思想、逼近的思想（有理數(shù)指數(shù)冪逼近無理數(shù)指數(shù)冪）、數(shù)形結(jié)合的思想（用指數(shù)函數(shù)的圖象研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)）等，同時，充分關(guān)注與實際問題的結(jié)合，體現(xiàn)數(shù)學的應(yīng)用價值。
根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點，教學中要注意發(fā)揮信息技術(shù)的力量，盡量利用計算器和計算機創(chuàng)設(shè)教學情境，為學生的數(shù)學探究與數(shù)學思維提供支持。
三維目標
1、通過與初中所學的知識進行類比，理解分數(shù)指數(shù)冪的概念，進而學習指數(shù)冪的性質(zhì)。掌握分數(shù)指數(shù)冪和根式之間的互化，掌握分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)。培養(yǎng)學生觀察分析、抽象類比的能力。
2、掌握根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化，滲透“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學思想。通過運算訓(xùn)練，養(yǎng)成學生嚴謹治學，一絲不茍的學習習慣，讓學生了解數(shù)學來自生活，數(shù)學又服務(wù)于生活的哲理。
3、能熟練地運用有理指數(shù)冪運算性質(zhì)進行化簡、求值，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)乃季S和科學正確的計算能力。
4、通過訓(xùn)練及點評，讓學生更能熟練掌握指數(shù)冪的運算性質(zhì)。展示函數(shù)圖象，讓學生通過觀察，進而研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，讓學生體驗數(shù)學的簡潔美和統(tǒng)一美。
重點難點
教學重點
�。�1）分數(shù)指數(shù)冪和根式概念的理解。
�。�2）掌握并運用分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)。
（3）運用有理指數(shù)冪的性質(zhì)進行化簡、求值。
教學難點
�。�1）分數(shù)指數(shù)冪及根式概念的理解。
（2）有理指數(shù)冪性質(zhì)的靈活應(yīng)用。
課時安排
3課時
教學過程
第1課時
作者：路致芳
導(dǎo)入新課
思路1.同學們在預(yù)習的過程中能否知道考古學家如何判斷生物的發(fā)展與進化，又怎樣判斷它們所處的年代？（考古學家是通過對生物化石的研究來判斷生物的發(fā)展與進化的，第二個問題我們不太清楚）考古學家是按照這樣一條規(guī)律推測生物所處的年代的。教師板書本節(jié)課題：指數(shù)函數(shù)——指數(shù)與指數(shù)冪的運算。
思路2.同學們，我們在初中學習了平方根、立方根，那么有沒有四次方根、五次方根…n次方根呢？答案是肯定的，這就是我們本堂課研究的課題：指數(shù)函數(shù)——指數(shù)與指數(shù)冪的運算。
推進新課
新知探究
提出問題
�。�1）什么是平方根？什么是立方根？一個數(shù)的平方根有幾個，立方根呢？
（2）如x4=a，x5=a，x6=a，根據(jù)上面的結(jié)論我們又能得到什么呢？
�。�3）根據(jù)上面的結(jié)論我們能得到一般性的結(jié)論嗎？
�。�4）可否用一個式子表達呢？
活動：教師提示，引導(dǎo)學生回憶初中的時候已經(jīng)學過的平方根、立方根是如何定義的，對照類比平方根、立方根的定義解釋上面的式子，對問題(2)的結(jié)論進行引申、推廣，相互交流討論后回答，教師及時啟發(fā)學生，具體問題一般化，歸納類比出n次方根的概念，評價學生的思維。
討論結(jié)果：(1)若x2=a，則x叫做a的平方根，正實數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)，如：4的平方根為±2，負數(shù)沒有平方根，同理，若x3=a，則x叫做a的立方根，一個數(shù)的立方根只有一個，如：-8的立方根為-2.
（2）類比平方根、立方根的定義，一個數(shù)的四次方等于a，則這個數(shù)叫a的四次方根。一個數(shù)的五次方等于a，則這個數(shù)叫a的五次方根。一個數(shù)的六次方等于a，則這個數(shù)叫a的六次方根。
（3）類比(2)得到一個數(shù)的n次方等于a，則這個數(shù)叫a的n次方根。
（4）用一個式子表達是，若xn=a，則x叫a的n次方根。
教師板書n次方根的意義：
一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根(n th root)，其中n>1且n∈正整數(shù)集。
可以看出數(shù)的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例。
提出問題
�。�1）你能根據(jù)n次方根的意義求出下列數(shù)的n次方根嗎？（多媒體顯示以下題目）。
①4的平方根；②±8的立方根；③16的`4次方根；④32的5次方根；⑤-32的5次方根；⑥0的7次方根；⑦a6的立方根。
�。�2）平方根，立方根，4次方根，5次方根，7次方根，分別對應(yīng)的方根的指數(shù)是什么數(shù)，有什么特點？4，±8，16，-32，32，0，a6分別對應(yīng)什么性質(zhì)的數(shù)，有什么特點？
（3）問題(2)中，既然方根有奇次的也有偶次的，數(shù)a有正有負，還有零，結(jié)論有一個的，也有兩個的，你能否總結(jié)一般規(guī)律呢？
�。�4）任何一個數(shù)a的偶次方根是否存在呢？
活動：教師提示學生切實緊扣n次方根的概念，求一個數(shù)a的n次方根，就是求出的那個數(shù)的n次方等于a，及時點撥學生，從數(shù)的分類考慮，可以把具體的數(shù)寫出來，觀察數(shù)的特點，對問題(2)中的結(jié)論，類比推廣引申，考慮要全面，對回答正確的學生及時表揚，對回答不準確的學生提示引導(dǎo)考慮問題的思路。
討論結(jié)果：(1)因為±2的平方等于4，±2的立方等于±8，±2的4次方等于16,2的5次方等于32，-2的5次方等于-32,0的7次方等于0，a2的立方等于a6，所以4的平方根，±8的立方根，16的4次方根，32的5次方根，-32的5次方根，0的7次方根，a6的立方根分別是±2，±2，±2,2，-2,0，a2.
（2）方根的指數(shù)是2,3,4,5,7…特點是有奇數(shù)和偶數(shù)�？偟膩砜�，這些數(shù)包括正數(shù)，負數(shù)和零。
（3）一個數(shù)a的奇次方根只有一個，一個正數(shù)a的偶次方根有兩個，是互為相反數(shù)。0的任何次方根都是0.
（4）任何一個數(shù)a的偶次方根不一定存在，如負數(shù)的偶次方根就不存在，因為沒有一個數(shù)的偶次方是一個負數(shù)。
類比前面的平方根、立方根，結(jié)合剛才的討論，歸納出一般情形，得到n次方根的性質(zhì)：
�、佼攏為偶數(shù)時，正數(shù)a的n次方根有兩個，是互為相反數(shù)，正的n次方根用na表示，如果是負數(shù)，負的n次方根用-na表示，正的n次方根與負的n次方根合并寫成±na(a>0)。
②n為奇數(shù)時，正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的n次方根是一個負數(shù)，這時a的n次方根用符號na表示。
�、圬摂�(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是零。
上面的文字語言可用下面的式子表示：
a為正數(shù)：n為奇數(shù)，a的n次方根有一個為na，n為偶數(shù)，a的n次方根有兩個為±na.
a為負數(shù)：n為奇數(shù)，a的n次方根只有一個為na，n為偶數(shù)，a的n次方根不存在。
零的n次方根為零，記為n0=0.
可以看出數(shù)的平方根、立方根的性質(zhì)是n次方根的性質(zhì)的特例。
思考
根據(jù)n次方根的性質(zhì)能否舉例說明上述幾種情況？
活動：教師提示學生對方根的性質(zhì)要分類掌握，即正數(shù)的奇偶次方根，負數(shù)的奇次方根，零的任何次方根，這樣才不重不漏，同時巡視學生，隨機給出一個數(shù)，我們寫出它的平方根，立方根，四次方根等，看是否有意義，注意觀察方根的形式，及時糾正學生在舉例過程中的問題。
解：答案不，比如，64的立方根是4,16的四次方根為±2，-27的5次方根為5-27，而-27的4次方根不存在等。其中5-27也表示方根，它類似于na的形式，現(xiàn)在我們給式子na一個名稱——根式。
根式的概念：
式子na叫做根式，其中a叫做被開方數(shù)，n叫做根指數(shù)。
如3-27中，3叫根指數(shù)，-27叫被開方數(shù)。
思考
nan表示an的n次方根，式子nan=a一定成立嗎？如果不一定成立，那么nan等于什么？
活動：教師讓學生注意討論n為奇偶數(shù)和a的符號，充分讓學生多舉實例，分組討論。教師點撥，注意歸納整理。
〔如3(-3)3=3-27=-3，4(-8)4=|-8|=8〕。
解答：根據(jù)n次方根的意義，可得：(na)n=a.
通過探究得到：n為奇數(shù)，nan=a.
n為偶數(shù)，nan=|a|=a，-a，a≥0，ab)。
活動：求某些式子的值，首先考慮的應(yīng)是什么，明確題目的要求是什么，都用到哪些知識，關(guān)鍵是啥，搞清這些之后，再針對每一個題目仔細分析。觀察學生的解題情況，讓學生展示結(jié)果，抓住學生在解題過程中出現(xiàn)的問題并對癥下藥。求下列各式的值實際上是求數(shù)的方根，可按方根的運算性質(zhì)來解，首先要搞清楚運算順序，目的是把被開方數(shù)的符號定準，然后看根指數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，如果是奇數(shù)，無需考慮符號，如果是偶數(shù)，開方的結(jié)果必須是非負數(shù)。
解：(1)3(-8)3=-8;
（2）(-10)2=10;
�。�3)4(3-π）4=π-3;
�。�4）(a-b)2=a-b(a>b)。
點評：不注意n的奇偶性對式子nan的值的影響，是導(dǎo)致問題出現(xiàn)的一個重要原因，要在理解的基礎(chǔ)上，記準，記熟，會用，活用。
變式訓(xùn)練
求出下列各式的值：
(1)7(-2)7;
(2)3(3a-3)3(a≤1)；
(3)4(3a-3)4.
解：(1)7(-2)7=-2，(2)3(3a-3)3(a≤1)=3a-3，(3)4(3a-3)4=
點評：本題易錯的是第(3)題，往往忽視a與1大小的討論，造成錯解。
思路2
例1下列各式中正確的是
A.4a4=a
B.6(-2)2=3-2
C.a0=1
D.10(2-1)5=2-1
活動：教師提示，這是一道選擇題，本題考查n次方根的運算性質(zhì)，應(yīng)首先考慮根據(jù)方根的意義和運算性質(zhì)來解，既要考慮被開方數(shù)，又要考慮根指數(shù)，嚴格按求方根的步驟，體會方根運算的實質(zhì)，學生先思考哪些地方容易出錯，再回答。
解析：(1)4a4=a，考查n次方根的運算性質(zhì)，當n為偶數(shù)時，應(yīng)先寫nan=|a|，故A項錯。
(2)6(-2)2=3-2，本質(zhì)上與上題相同，是一個正數(shù)的偶次方根，根據(jù)運算順序也應(yīng)如此，結(jié)論為6(-2)2=32，故B項錯。
(3)a0=1是有條件的，即a≠0，故C項也錯。
(4)D項是一個正數(shù)的偶次方根，根據(jù)運算順序也應(yīng)如此，故D項正確。所以答案選D.
答案：D
點評：本題由于考查n次方根的運算性質(zhì)與運算順序，有時極易選錯，選四個答案的情況都會有，因此解題時千萬要細心。
例2 3+22+3-22=__________.
活動：讓同學們積極思考，交流討論，本題乍一看內(nèi)容與本節(jié)無關(guān)，但仔細一想，我們學習的內(nèi)容是方根，這里是帶有雙重根號的式子，去掉一層根號，根據(jù)方根的運算求出結(jié)果是解題的關(guān)鍵，因此將根號下面的式子化成一個完全平方式就更為關(guān)鍵了，從何處入手？需利用和的平方公式與差的平方公式化為完全平方式。正確分析題意是關(guān)鍵，教師提示，引導(dǎo)學生解題的思路。
解析：因為3+22=1+22+(2)2=(1+2)2=2+1，3-22=(2)2-22+1=(2-1)2=2-1，所以3+22+3-22=22.
答案：22
點評：不難看出3-22與3+22形式上有些特點，即是對稱根式，是A±2B形式的式子，我們總能找到辦法把其化成一個完全平方式。
思考
上面的例2還有別的解法嗎？
活動：教師引導(dǎo)，去根號常常利用完全平方公式，有時平方差公式也可，同學們觀察兩個式子的特點，具有對稱性，再考慮并交流討論，一個是“+”，一個是“-”，去掉一層根號后，相加正好抵消。同時借助平方差，又可去掉根號，因此把兩個式子的和看成一個整體，兩邊平方即可，探討得另一種解法。
另解：利用整體思想，x=3+22+3-22，兩邊平方，得x2=3+22+3-22+2(3+22)(3-22)=6+232-(22)2=6+2=8，所以x=22.
點評：對雙重二次根式，特別是A±2B形式的式子，我們總能找到辦法將根號下面的式子化成一個完全平方式，問題迎刃而解，另外對A+2B±A-2B的式子，我們可以把它們看成一個整體利用完全平方公式和平方差公式去解。
變式訓(xùn)練
若a2-2a+1=a-1，求a的取值范圍。
解：因為a2-2a+1=a-1，而a2-2a+1=(a-1)2=|a-1|=a-1，即a-1≥0，所以a≥1.
點評：利用方根的運算性質(zhì)轉(zhuǎn)化為去絕對值符號，是解題的關(guān)鍵。
知能訓(xùn)練
（教師用多媒體顯示在屏幕上）
1、以下說法正確的是
A.正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)
B.負數(shù)的n次方根是一個負數(shù)
C.0的n次方根是零
D.a的n次方根用na表示（以上n>1且n∈正整數(shù)集）
答案：C
2、化簡下列各式：
(1)664;(2)4(-3)2;(3)4x8;(4)6x6y3;(5)(x-y)2.
答案：(1)2;(2)3;(3)x2;(4)|x|y;(5)|x-y|。
3、計算7+40+7-40=__________.
解析：7+40+7-40
=(5)2+25?2+(2)2+(5)2-25?2+(2)2
=(5+2)2+(5-2)2
=5+2+5-2
=25.
答案：25
拓展提升
問題：nan=a與(na)n=a(n>1，n∈N)哪一個是恒等式，為什么？請舉例說明。
活動：組織學生結(jié)合前面的例題及其解答，進行分析討論，解決這一問題要緊扣n次方根的定義。
通過歸納，得出問題結(jié)果，對a是正數(shù)和零，n為偶數(shù)時，n為奇數(shù)時討論一下。再對a是負數(shù)，n為偶數(shù)時，n為奇數(shù)時討論一下，就可得到相應(yīng)的結(jié)論。
解：(1)(na)n=a(n>1，n∈N)。
如果xn=a(n>1，且n∈N)有意義，則無論n是奇數(shù)或偶數(shù)，x=na一定是它的一個n次方根，所以(na)n=a恒成立。
例如：(43)4=3，(3-5)3=-5.
(2)nan=a|a|，當n為奇數(shù)，當n為偶數(shù)。
當n為奇數(shù)時，a∈R，nan=a恒成立。
例如：525=2，5(-2)5=-2.
當n為偶數(shù)時，a∈R，an≥0，nan表示正的n次方根或0，所以如果a≥0，那么nan=a.例如434=3，40=0;如果a1，n∈N)是恒等式，nan=a(n>1，n∈N)是有條件的。
點評：實質(zhì)上是對n次方根的概念、性質(zhì)以及運算性質(zhì)的深刻理解。
課堂小結(jié)
學生仔細交流討論后，在筆記上寫出本節(jié)課的學習收獲，教師用多媒體顯示在屏幕上。
1、如果xn=a，那么x叫a的n次方根，其中n>1且n∈正整數(shù)集。用式子na表示，式子na叫根式，其中a叫被開方數(shù)，n叫根指數(shù)。
�。�1）當n為偶數(shù)時，a的n次方根有兩個，是互為相反數(shù)，正的n次方根用na表示，如果是負數(shù)，負的n次方根用-na表示，正的n次方根與負的n次方根合并寫成±na(a>0)。
(2)n為奇數(shù)時，正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的n次方根是一個負數(shù)，這時a的n次方根用符號na表示。
�。�3）負數(shù)沒有偶次方根。0的任何次方根都是零。
2、掌握兩個公式：n為奇數(shù)時，(na)n=a，n為偶數(shù)時，nan=|a|=a，-a，a≥0，a
解析：因為5
答案：2a-13
3.5+26+5-26=__________.
解析：對雙重二次根式，我們覺得難以下筆，我們考慮只有在開方的前提下才可能解出，由此提示我們想辦法去掉一層根式，不難看出5+26=(3+2)2=3+2.
同理5-26=(3-2)2=3-2.
所以5+26+5-26=23.
答案：23
設(shè)計感想
學生已經(jīng)學習了數(shù)的平方根和立方根，根式的內(nèi)容是這些內(nèi)容的推廣，本節(jié)課由于方根和根式的概念和性質(zhì)難以理解，在引入根式的概念時，要結(jié)合已學內(nèi)容，列舉具體實例，根式na的講解要分n是奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況來進行，每種情況又分a>0，a0，①；
②a8=(a4)2=a4=，；
�、�4a12=4(a3)4=a3=；
�、�2a10=2(a5)2=a5= 。
（3）利用(2)的規(guī)律，你能表示下列式子嗎？
，(x>0，m，n∈正整數(shù)集，且n>1)。
�。�4）你能用方根的意義來解釋(3)的式子嗎？
�。�5）你能推廣到一般的情形嗎？
活動：學生回顧初中學習的整數(shù)指數(shù)冪及運算性質(zhì)，仔細觀察，特別是每題的開始和最后兩步的指數(shù)之間的關(guān)系，教師引導(dǎo)學生體會方根的意義，用方根的意義加以解釋，指點啟發(fā)學生類比(2)的規(guī)律表示，借鑒(2)(3)，我們把具體推廣到一般，對寫正確的同學及時表揚，其他學生鼓勵提示。
討論結(jié)果：(1)整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)：an=a?a?a?…？a，a0=1(a≠0)；00無意義；
a-n=1an(a≠0)；am?an=am+n;(am)n=amn;(an)m=amn;(ab)n=anbn.
�。�2）①a2是a10的5次方根；②a4是a8的2次方根；③a3是a12的4次方根；④a5是a10的2次方根。實質(zhì)上①5a10=，②a8=，③4a12=，④2a10=結(jié)果的a的指數(shù)是2,4,3,5分別寫成了105，82，124，105，形式上變了，本質(zhì)沒變。
根據(jù)4個式子的最后結(jié)果可以總結(jié)：當根式的被開方數(shù)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時，根式可以寫成分數(shù)作為指數(shù)的形式（分數(shù)指數(shù)冪形式）。
�。�3）利用(2)的規(guī)律，453=，375=，5a7=，nxm= 。
(4)53的四次方根是，75的三次方根是，a7的五次方根是，xm的n次方根是。
結(jié)果表明方根的結(jié)果和分數(shù)指數(shù)冪是相通的。
�。�5）如果a>0，那么am的n次方根可表示為nam=，即=nam(a>0，m，n∈正整數(shù)集，n>1)。
綜上所述，我們得到正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義，教師板書：
規(guī)定：正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是=nam(a>0，m，n∈正整數(shù)集，n>1)。
提出問題
�。�1）負整數(shù)指數(shù)冪的意義是怎樣規(guī)定的？
�。�2）你能得出負分數(shù)指數(shù)冪的意義嗎？
�。�3）你認為應(yīng)怎樣規(guī)定零的分數(shù)指數(shù)冪的意義？
�。�4）綜合上述，如何規(guī)定分數(shù)指數(shù)冪的意義？
�。�5）分數(shù)指數(shù)冪的意義中，為什么規(guī)定a>0，去掉這個規(guī)定會產(chǎn)生什么樣的后果？
（6）既然指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)，那么整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)是否也適用于有理數(shù)指數(shù)冪呢？
活動：學生回想初中學習的情形，結(jié)合自己的學習體會回答，根據(jù)零的整數(shù)指數(shù)冪的意義和負整數(shù)指數(shù)冪的意義來類比，把正分數(shù)指數(shù)冪的意義與負分數(shù)指數(shù)冪的意義融合起來，與整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)類比可得有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，教師在黑板上板書，學生合作交流，以具體的實例說明a>0的必要性，教師及時作出評價。
討論結(jié)果：(1)負整數(shù)指數(shù)冪的意義是：a-n=1an(a≠0)，n∈N+。
（2）既然負整數(shù)指數(shù)冪的意義是這樣規(guī)定的，類比正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義可得正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義。
規(guī)定：正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是= =1nam(a>0，m，n∈=N+，n>1)。
�。�3）規(guī)定：零的分數(shù)指數(shù)冪的意義是：零的正分數(shù)次冪等于零，零的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義。
�。�4）教師板書分數(shù)指數(shù)冪的意義。分數(shù)指數(shù)冪的意義就是：
正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是=nam(a>0，m，n∈正整數(shù)集，n>1)，正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是= =1nam(a>0，m，n∈正整數(shù)集，n>1)，零的正分數(shù)次冪等于零，零的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義。
�。�5）若沒有a>0這個條件會怎樣呢？
如=3-1=-1，=6(-1)2=1具有同樣意義的兩個式子出現(xiàn)了截然不同的結(jié)果，這只說明分數(shù)指數(shù)冪在底數(shù)小于零時是無意義的。因此在把根式化成分數(shù)指數(shù)時，切記要使底數(shù)大于零，如無a>0的條件，比如式子3a2=，同時負數(shù)開奇次方是有意義的，負數(shù)開奇次方時，應(yīng)把負號移到根式的外邊，然后再按規(guī)定化成分數(shù)指數(shù)冪，也就是說，負分數(shù)指數(shù)冪在有意義的情況下總表示正數(shù)，而不是負數(shù)，負數(shù)只是出現(xiàn)在指數(shù)上。
�。�6）規(guī)定了分數(shù)指數(shù)冪的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)。
有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)：對任意的有理數(shù)r，s，均有下面的運算性質(zhì)：
①ar?as=ar+s(a>0，r，s∈Q)，②(ar)s=ars(a>0，r，s∈Q)，③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈Q)。
我們利用分數(shù)指數(shù)冪的意義和有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)可以解決一些問題，來看下面的例題。
應(yīng)用示例
例1求值：(1)；(2)；(3)12-5;(4) 。
活動：教師引導(dǎo)學生考慮解題的方法，利用冪的運算性質(zhì)計算出數(shù)值或化成最簡根式，根據(jù)題目要求，把底數(shù)寫成冪的形式，8寫成23,25寫成52，12寫成2-1，1681寫成234，利用有理數(shù)冪的運算性質(zhì)可以解答，完成后，把自己的答案用投影儀展示出來。
解：(1) =22=4;
（2）=5-1=15;
(3)12-5=(2-1)-5=2-1×(-5)=32;
�。�4）=23-3=278.
點評：本例主要考查冪值運算，要按規(guī)定來解。在進行冪值運算時，要首先考慮轉(zhuǎn)化為指數(shù)運算，而不是首先轉(zhuǎn)化為熟悉的根式運算，如=382=364=4.
例2用分數(shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式。
a3?a;a2?3a2;a3a(a>0)。
活動：學生觀察、思考，根據(jù)解題的順序，把根式化為分數(shù)指數(shù)冪，再由冪的運算性質(zhì)來運算，根式化為分數(shù)指數(shù)冪時，要由里往外依次進行，把握好運算性質(zhì)和順序，學生討論交流自己的解題步驟，教師評價學生的解題情況，鼓勵學生注意總結(jié)。
解：a3?a=a3? =；
a2?3a2=a2? =；
a3a= 。
點評：利用分數(shù)指數(shù)冪的意義和有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)進行根式運算時，其順序是先把根式化為分數(shù)指數(shù)冪，再由冪的運算性質(zhì)來運算。對于計算的結(jié)果，不強求統(tǒng)一用什么形式來表示，沒有特別要求，就用分數(shù)指數(shù)冪的形式來表示，但結(jié)果不能既有分數(shù)指數(shù)又有根式，也不能既有分母又有負指數(shù)。
例3計算下列各式（式中字母都是正數(shù)）。
�。�1）；
�。�2）。
活動：先由學生觀察以上兩個式子的特征，然后分析，四則運算的順序是先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號的先算括號內(nèi)的，整數(shù)冪的運算性質(zhì)及運算規(guī)律擴充到分數(shù)指數(shù)冪后，其運算順序仍符合我們以前的四則運算順序，再解答，把自己的答案用投影儀展示出來，相互交流，其中要注意到(1)小題是單項式的乘除運算，可以用單項式的乘除法運算順序進行，要注意符號，第(2)小題是乘方運算，可先按積的乘方計算，再按冪的乘方進行計算，熟悉后可以簡化步驟。
解：(1)原式=[2×(-6)÷(-3)] =4ab0=4a;
�。�2）=m2n-3=m2n3.
點評：分數(shù)指數(shù)冪不表示相同因式的積，而是根式的另一種寫法。有了分數(shù)指數(shù)冪，就可把根式轉(zhuǎn)化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，用分數(shù)指數(shù)冪的運算法則進行運算了。
本例主要是指數(shù)冪的運算法則的綜合考查和應(yīng)用。
變式訓(xùn)練
求值：(1)33?33?63;
(2)627m3125n64.
解：(1)33?33?63= =32=9;
(2)627m3125n64= =9m225n4=925m2n-4.
例4計算下列各式：
�。�1）(325-125)÷425;
(2)a2a?3a2(a>0)。
活動：先由學生觀察以上兩個式子的特征，然后分析，化為同底。利用分數(shù)指數(shù)冪計算，在第(1)小題中，只含有根式，且不是同次根式，比較難計算，但把根式先化為分數(shù)指數(shù)冪再計算，這樣就簡便多了，第(2)小題也是先把根式轉(zhuǎn)化為分數(shù)指數(shù)冪后再由運算法則計算，最后寫出解答。
解：(1)原式=
= =65-5;
(2)a2a?3a2= =6a5.
知能訓(xùn)練
課本本節(jié)練習1,2,3
【補充練習】
教師用實物投影儀把題目投射到屏幕上讓學生解答，教師巡視，啟發(fā)，對做得好的同學給予表揚鼓勵。
1、(1)下列運算中，正確的是
A.a2?a3=a6 B.(-a2)3=(-a3)2
C.(a-1)0=0 D.(-a2)3=-a6
�。�2）下列各式①4(-4)2n，②4(-4)2n+1，③5a4，④4a5（各式的n∈N，a∈R）中，有意義的是
A.①② B.①③ C.①②③④ D.①③④
�。�3）(34a6)2?(43a6)2等于
A.a B.a2 C.a3 D.a4
�。�4）把根式-25(a-b)-2改寫成分數(shù)指數(shù)冪的形式為
A. B.
C. D.
（5）化簡的結(jié)果是
A.6a B.-a C.-9a D.9a
2、計算：(1) --17-2+ -3-1+(2-1)0=__________.
�。�2）設(shè)5x=4,5y=2，則52x-y=__________.
3、已知x+y=12，xy=9且x
所以原式= =12-6-63=-33.
拓展提升
1、化簡：。
活動：學生觀察式子特點，考慮x的指數(shù)之間的關(guān)系可以得到解題思路，應(yīng)對原式進行因式分解，根據(jù)本題的特點，注意到：
x-1= -13=；
x+1= +13=；
。
構(gòu)建解題思路教師適時啟發(fā)提示。
解：
=
=
=
= 。
點撥：解這類題目，要注意運用以下公式，=a-b，=a± +b，=a±b.
2、已知，探究下列各式的值的求法。
(1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3) 。
解：(1)將，兩邊平方，得a+a-1+2=9，即a+a-1=7;
�。�2）將a+a-1=7兩邊平方，得a2+a-2+2=49，即a2+ a-2=47;
（3）由于，所以有=a+a-1+1=8.
點撥：對“條件求值”問題，一定要弄清已知與未知的聯(lián)系，然后采取“整體代換”或“求值后代換”兩種方法求值。
課堂小結(jié)
活動：教師，本節(jié)課同學們有哪些收獲？請把你的學習收獲記錄在你的筆記本上，同學們之間相互交流。同時教師用投影儀顯示本堂課的知識要點：
�。�1）分數(shù)指數(shù)冪的意義就是：正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是=nam(a>0，m，n∈正整數(shù)集，n>1)，正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是= =1nam(a>0，m，n∈正整數(shù)集，n>1)，零的正分數(shù)次冪等于零，零的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義。
�。�2）規(guī)定了分數(shù)指數(shù)冪的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)。
（3）有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)：對任意的有理數(shù)r，s，均有下面的運算性質(zhì)：
�、賏r?as=ar+s(a>0，r，s∈Q)，②(ar)s=ars(a>0，r，s∈Q)，③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈Q)。
�。�4）說明兩點：
①分數(shù)指數(shù)冪的意義是一種規(guī)定，我們前面所舉的例子只表明這種規(guī)定的合理性，其中沒有推出關(guān)系。
②整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)對任意的有理數(shù)指數(shù)冪也同樣適用。因而分數(shù)指數(shù)冪與根式可以互化，也可以利用=am來計算。
作業(yè)
課本習題2.1A組2,4.
設(shè)計感想
本節(jié)課是分數(shù)指數(shù)冪的意義的引出及應(yīng)用，分數(shù)指數(shù)是指數(shù)概念的又一次擴充，要讓學生反復(fù)理解分數(shù)指數(shù)冪的意義，教學中可以通過根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化來鞏固加深對這一概念的理解，用觀察、歸納和類比的方法完成，由于是硬性的規(guī)定，沒有合理的解釋，因此多安排一些練習，強化訓(xùn)練，鞏固知識，要輔助以信息技術(shù)的手段來完成大容量的課堂教學任務(wù)。
第3課時
作者：鄭芳鳴
導(dǎo)入新課
思路1.同學們，既然我們把指數(shù)從正整數(shù)推廣到整數(shù)，又從整數(shù)推廣到正分數(shù)到負分數(shù)，這樣指數(shù)就推廣到有理數(shù)，那么它是否也和數(shù)的推廣一樣，到底有沒有無理數(shù)指數(shù)冪呢？回顧數(shù)的擴充過程，自然數(shù)到整數(shù)，整數(shù)到分數(shù)（有理數(shù)），有理數(shù)到實數(shù)。并且知道，在有理數(shù)到實數(shù)的擴充過程中，增添的數(shù)是無理數(shù)。對無理數(shù)指數(shù)冪，也是這樣擴充而來。既然如此，我們這節(jié)課的主要內(nèi)容是：教師板書本堂課的課題〔指數(shù)與指數(shù)冪的運算(3)〕之無理數(shù)指數(shù)冪。
思路2.同學們，在初中我們學習了函數(shù)的知識，對函數(shù)有了一個初步的了解，到了高中，我們又對函數(shù)的概念進行了進一步的學習，有了更深的理解，我們僅僅學了幾種簡單的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、三角函數(shù)等，這些遠遠不能滿足我們的需要，隨著科學的發(fā)展，社會的進步，我們還要學習許多函數(shù)，其中就有指數(shù)函數(shù)，為了學習指數(shù)函數(shù)的知識，我們必須學習實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，為此，我們必須把指數(shù)冪從有理數(shù)指數(shù)冪擴充到實數(shù)指數(shù)冪，因此我們本節(jié)課學習：指數(shù)與指數(shù)冪的運算(3)之無理數(shù)指數(shù)冪，教師板書本節(jié)課的課題。
推進新課
新知探究
提出問題
�。�1）我們知道2=1.414 213 56…，那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…，是2的什么近似值？而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22，…，是2的什么近似值？
�。�2）多媒體顯示以下圖表：同學們從上面的兩個表中，能發(fā)現(xiàn)什么樣的規(guī)律？
2的過剩近似值
的近似值
1.5 11.180 339 89
1.42 9.829 635 328
1.415 9.750 851 808
1.414 3 9.739 872 62
1.414 22 9.738 618 643
1.414 214 9.738 524 602
1.414 213 6 9.738 518 332
1.414 213 57 9.738 517 862
1.414 213 563 9.738 517 752
… …
的近似值
2的不足近似值
9.518 269 694 1.4
9.672 669 973 1.41
9.735 171 039 1.414
9.738 305 174 1.414 2
9.738 461 907 1.414 21
9.738 508 928 1.414 213
9.738 516 765 1.414 213 5
9.738 517 705 1.414 213 56
9.738 517 736 1.414 213 562
… …
（3）你能給上述思想起個名字嗎？
（4）一個正數(shù)的無理數(shù)次冪到底是一個什么性質(zhì)的數(shù)呢？如，根據(jù)你學過的知識，能作出判斷并合理地解釋嗎？
�。�5）借助上面的結(jié)論你能說出一般性的結(jié)論嗎？
活動：教師引導(dǎo)，學生回憶，教師提問，學生回答，積極交流，及時評價學生，學生有困惑時加以解釋，可用多媒體顯示輔助內(nèi)容：
問題(1)從近似值的分類來考慮，一方面從大于2的方向，另一方面從小于2的方向。
問題(2)對圖表的觀察一方面從上往下看，再一方面從左向右看，注意其關(guān)聯(lián)。
問題(3)上述方法實際上是無限接近，最后是逼近。
問題(4)對問題給予大膽猜測，從數(shù)軸的觀點加以解釋。
問題(5)在(3)(4)的基礎(chǔ)上，推廣到一般的情形，即由特殊到一般。
討論結(jié)果：(1)1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…這些數(shù)都小于2，稱2的不足近似值，而1.42，1.415,1.414 3,1.414 22，…，這些數(shù)都大于2，稱2的過剩近似值。
�。�2）第一個表：從大于2的方向逼近2時，就從51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，即大于的方向逼近。
第二個表：從小于2的方向逼近2時，就從51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，即小于的方向逼近。
從另一角度來看這個問題，在數(shù)軸上近似地表示這些點，數(shù)軸上的數(shù)字表明一方面從51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，即小于的方向接近，而另一方面從51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，即大于的方向接近，可以說從兩個方向無限地接近，即逼近，所以是一串有理數(shù)指數(shù)冪51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，和另一串有理數(shù)指數(shù)冪51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，按上述變化規(guī)律變化的結(jié)果，事實上表示這些數(shù)的點從兩個方向向表示的點靠近，但這個點一定在數(shù)軸上，由此我們可得到的結(jié)論是一定是一個實數(shù)，即51.40，α是無理數(shù)）是一個確定的實數(shù)。
也就是說無理數(shù)可以作為指數(shù)，并且它的結(jié)果是一個實數(shù)，這樣指數(shù)概念又一次得到推廣，在數(shù)的擴充過程中，我們知道有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)。我們規(guī)定了無理數(shù)指數(shù)冪的意義，知道它是一個確定的實數(shù)，結(jié)合前面的有理數(shù)指數(shù)冪，那么，指數(shù)冪就從有理數(shù)指數(shù)冪擴充到實數(shù)指數(shù)冪。
提出問題
�。�1）為什么在規(guī)定無理數(shù)指數(shù)冪的意義時，必須規(guī)定底數(shù)是正數(shù)？
（2）無理數(shù)指數(shù)冪的運算法則是怎樣的？是否與有理數(shù)指數(shù)冪的運算法則相通呢？
（3）你能給出實數(shù)指數(shù)冪的運算法則嗎？
活動：教師組織學生互助合作，交流探討，引導(dǎo)他們用反例說明問題，注意類比，歸納。
對問題(1)回顧我們學習分數(shù)指數(shù)冪的意義時對底數(shù)的規(guī)定，舉例說明。
對問題（2)結(jié)合有理數(shù)指數(shù)冪的運算法則，既然無理數(shù)指數(shù)冪aα(a>0，α是無理數(shù)）是一個確定的實數(shù)，那么無理數(shù)指數(shù)冪的運算法則應(yīng)當與有理數(shù)指數(shù)冪的運算法則類似，并且相通。
對問題(3)有了有理數(shù)指數(shù)冪的運算法則和無理數(shù)指數(shù)冪的運算法則，實數(shù)的運算法則自然就得到了。
討論結(jié)果：(1)底數(shù)大于零的必要性，若a=-1，那么aα是+1還是-1就無法確定了，這樣就造成混亂，規(guī)定了底數(shù)是正數(shù)后，無理數(shù)指數(shù)冪aα是一個確定的實數(shù)，就不會再造成混亂。
�。�2）因為無理數(shù)指數(shù)冪是一個確定的實數(shù)，所以能進行指數(shù)的運算，也能進行冪的運算，有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，同樣也適用于無理數(shù)指數(shù)冪。類比有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)可以得到無理數(shù)指數(shù)冪的運算法則：
�、賏r?as=ar+s（a>0，r，s都是無理數(shù)）。
�、冢╝r)s=ars(a>0，r，s都是無理數(shù)）。
�、郏╝?b)r=arbr(a>0，b>0，r是無理數(shù)）。
（3）指數(shù)冪擴充到實數(shù)后，指數(shù)冪的運算性質(zhì)也就推廣到了實數(shù)指數(shù)冪。
實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)：
對任意的實數(shù)r，s，均有下面的運算性質(zhì)：
①ar?as=ar+s(a>0，r，s∈R)。
�、�(ar)s=ars(a>0，r，s∈R)。
③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈R)。
應(yīng)用示例
例1利用函數(shù)計算器計算。（精確到0.001）
(1)0.32.1;(2)3.14-3;(3)；(4) 。
活動：教師教會學生利用函數(shù)計算器計算，熟悉計算器的各鍵的功能，正確輸入各類數(shù)，算出數(shù)值，對于(1)，可先按底數(shù)0.3，再按xy鍵，再按冪指數(shù)2.1，最后按=，即可求得它的值；
對于(2)，先按底數(shù)3.14，再按xy鍵，再按負號-鍵，再按3，最后按=即可；
對于(3)，先按底數(shù)3.1，再按xy鍵，再按3÷4，最后按=即可；
對于(4)，這種無理指數(shù)冪，可先按底數(shù)3，其次按xy鍵，再按鍵，再按3，最后按=鍵。有時也可按2ndf或shift鍵，使用鍵上面的功能去運算。
學生可以相互交流，挖掘計算器的用途。
解：(1)0.32.1≈0.080;(2)3.14-3≈0.032;(3) ≈2.336;(4) ≈6.705.
點評：熟練掌握用計算器計算冪的值的方法與步驟，感受現(xiàn)代技術(shù)的威力，逐步把自己融入現(xiàn)代信息社會；用四舍五入法求近似值，若保留小數(shù)點后n位，只需看第(n+1)位能否進位即可。
例2求值或化簡。
(1)a-4b23ab2(a>0，b>0)；
（2）(a>0，b>0)；
(3)5-26+7-43-6-42.
活動：學生觀察，思考，所謂化簡，即若能化為常數(shù)則化為常數(shù)，若不能化為常數(shù)則應(yīng)使所化式子達到最簡，對既有分數(shù)指數(shù)冪又有根式的式子，應(yīng)該把根式統(tǒng)一化為分數(shù)指數(shù)冪的形式，便于運算，教師有針對性地提示引導(dǎo)，對(1)由里向外把根式化成分數(shù)指數(shù)冪，要緊扣分數(shù)指數(shù)冪的意義和運算性質(zhì)，對(2)既有分數(shù)指數(shù)冪又有根式，應(yīng)當統(tǒng)一起來，化為分數(shù)指數(shù)冪，對(3)有多重根號的式子，應(yīng)先去根號，這里是二次根式，被開方數(shù)應(yīng)湊完全平方，這樣，把5,7,6拆成(3)2+(2)2,22+(3)2,22+(2)2，并對學生作及時的評價，注意總結(jié)解題的方法和規(guī)律。
解：(1)a-4b23ab2= =3b46a11 。
點評：根式的運算常常化成冪的運算進行，計算結(jié)果如沒有特殊要求，就用根式的形式來表示。
高中數(shù)學教案15
教學目標：
1。理解并掌握瞬時速度的定義；
2。會運用瞬時速度的定義求物體在某一時刻的瞬時速度和瞬時加速度；
3。理解瞬時速度的實際背景，培養(yǎng)學生解決實際問題的能力。
教學重點：
會運用瞬時速度的定義求物體在某一時刻的瞬時速度和瞬時加速度。
教學難點：
理解瞬時速度和瞬時加速度的定義。
教學過程：
一、問題情境
1。問題情境。
平均速度：物體的運動位移與所用時間的比稱為平均速度。
問題一平均速度反映物體在某一段時間段內(nèi)運動的快慢程度。那么如何刻畫物體在某一時刻運動的快慢程度？
問題二跳水運動員從10m高跳臺騰空到入水的過程中，不同時刻的速度是不同的。假設(shè)t秒后運動員相對于水面的高度為h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10,試確定t＝2s時運動員的速度.
2。探究活動：
(1)計算運動員在2s到2.1s(t∈)內(nèi)的平均速度。
(2)計算運動員在2s到（2＋?t）s(t∈)內(nèi)的平均速度。
(3)如何計算運動員在更短時間內(nèi)的平均速度。
探究結(jié)論：
時間區(qū)間
t
平均速度
0.1
-13.59
0.01
-13.149
0.001
-13.1049
0.0001
-13.10049
0.00001
-13.100049
0.000001
-13.1000049
當?t?0時，?－13.1，
該常數(shù)可作為運動員在2s時的瞬時速度。
即t＝2s時，高度對于時間的瞬時變化率。
二、建構(gòu)數(shù)學
1。平均速度。
設(shè)物體作直線運動所經(jīng)過的路程為,以為起始時刻，物體在?t時間內(nèi)的平均速度為。
可作為物體在時刻的速度的近似值，?t越小，近似的`程度就越好。所以當?t?0時，極限就是物體在時刻的瞬時速度。
三、數(shù)學運用
例1物體作自由落體運動，運動方程為，其中位移單位是m，時
間單位是s，，求：
�。�1）物體在時間區(qū)間s上的平均速度；
�。�2）物體在時間區(qū)間上的平均速度；
（3）物體在t＝2s時的瞬時速度。
分析
解
（1）將?t＝0.1代入上式，得：＝2.05g＝20.5m/s。
�。�2）將?t＝0.01代入上式，得：＝2.005g＝20.05m/s。
（3）當?t?0，2＋?t?2，從而平均速度的極限為：
例2設(shè)一輛轎車在公路上作直線運動，假設(shè)時的速度為，
求當時轎車的瞬時加速度。
解
∴當?t無限趨于0時，無限趨于，即＝。
練習
課本P12—1，2。
四、回顧小結(jié)
問題1本節(jié)課你學到了什么？
1理解瞬時速度和瞬時加速度的定義；
2實際應(yīng)用問題中瞬時速度和瞬時加速度的求解；
問題2解決瞬時速度和瞬時加速度問題需要注意什么？
注意當?t?0時，瞬時速度和瞬時加速度的極限值。
問題3本節(jié)課體現(xiàn)了哪些數(shù)學思想方法？
2極限的思想方法。
3特殊到一般、從具體到抽象的推理方法。
五、課外作業(yè)
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