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通項(xiàng)公式方法總結(jié)
總結(jié)是指對(duì)某一階段的工作、學(xué)習(xí)或思想中的經(jīng)驗(yàn)或情況進(jìn)行分析研究，做出帶有規(guī)律性結(jié)論的書面材料，它能夠給人努力工作的動(dòng)力，為此要我們寫一份總結(jié)。你想知道總結(jié)怎么寫嗎？以下是小編精心整理的通項(xiàng)公式方法總結(jié)，歡迎大家借鑒與參考，希望對(duì)大家有所幫助。
通項(xiàng)公式方法總結(jié)1
一、題目已知或通過簡(jiǎn)單推理判斷出是等比數(shù)列或等差數(shù)列，直接用其通項(xiàng)公式。
例：在數(shù)列{an}中，若a1=1，an+1=an+2(n1)，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式an。
解：由an+1=an+2(n1)及已知可推出數(shù)列{an}為a1=1，d=2的等差數(shù)列。所以an=2n-1。此類題主要是用等比、等差數(shù)列的定義判斷，是較簡(jiǎn)單的基礎(chǔ)小題。
二、已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，用公式
S1 (n=1)
Sn-Sn-1 (n2)
例：已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2-9n，第k項(xiàng)滿足5
(A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6
解：∵an=Sn-Sn-1=2n-10，∴5<2k-10<8 ∴k=8選(B)
此類題在解時(shí)要注意考慮n=1的情況。
三、已知an與Sn的關(guān)系時(shí)，通常用轉(zhuǎn)化的方法，先求出Sn與n的關(guān)系，再由上面的(二)方法求通項(xiàng)公式。
例：已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足an=SnSn-1(n2)，且a1=-，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。
解：∵an=SnSn-1(n2)，而an=Sn-Sn-1，SnSn-1=Sn-Sn-1，兩邊同除以SnSn-1，得---=-1(n2)，而-=-=-，∴{-}是以-為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列，∴-= -，Sn= -，
再用(二)的方法：當(dāng)n2時(shí)，an=Sn-Sn-1=-，當(dāng)n=1時(shí)不適合此式，所以，
- (n=1)
- (n2)
四、用累加、累積的方法求通項(xiàng)公式
對(duì)于題中給出an與an+1、an-1的遞推式子，常用累加、累積的方法求通項(xiàng)公式。
例：設(shè)數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且滿足(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式
解：∵(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，可分解為[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0
又∵{an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，∴an+1+an ≠0，∴-=-，由此得出：-=-，-=-，-=-，…，-=-,這n-1個(gè)式子，將其相乘得：∴ -=-，
又∵a1=1，∴an=-(n2)，∵n=1也成立，∴an=-(n∈N*)
五、用構(gòu)造數(shù)列方法求通項(xiàng)公式
題目中若給出的是遞推關(guān)系式，而用累加、累積、迭代等又不易求通項(xiàng)公式時(shí)，可以考慮通過變形，構(gòu)造出含有an(或Sn)的式子，使其成為等比或等差數(shù)列，從而求出an(或Sn)與n的關(guān)系，這是近一、二年來的'高考熱點(diǎn)，因此既是重點(diǎn)也是難點(diǎn)。
例：已知數(shù)列{an}中，a1＝2，an+1=(--1)(an+2)，n=1,2,3,……
(1)求{an}通項(xiàng)公式(2)略
解：由an+1=(--1)(an+2)得到an+1--＝(--1)(an--)
∴{an--}是首項(xiàng)為a1--，公比為--1的等比數(shù)列。
由a1＝2得an--=(--1)n-1(2--)，于是an=(--1)n-1(2--)+-
又例：在數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1(n∈N*)，證明數(shù)列{an-n}是等比數(shù)列。
證明：本題即證an+1-(n+1)=q(an-n) (q為非0常數(shù))
由an+1=4an-3n+1，可變形為an+1-(n+1)=4(an-n)，又∵a1-1=1，
所以數(shù)列{an-n}是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列。
若將此問改為求an的通項(xiàng)公式，則仍可以通過求出{an-n}的通項(xiàng)公式，再轉(zhuǎn)化到an的通項(xiàng)公式上來。
又例：設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1∈(0,1)，an=-，n=2，3，4……(1)求{an}通項(xiàng)公式。(2)略
解：由an=-，n=2,3,4,……，整理為1-an=--(1-an-1)，又1-a1≠0，所以{1-an}是首項(xiàng)為1-a1，公比為--的等比數(shù)列，得an=1-(1-a1)(--)n-1
通項(xiàng)公式方法總結(jié)2
不過一般分小題、有梯度設(shè)問，往往是第1小題就是求數(shù)列的通項(xiàng)公式，難度適中，一般考生可突破，爭(zhēng)取分?jǐn)?shù)，而且是做第2小題的基礎(chǔ)，因此，求數(shù)列通項(xiàng)公式的解題方法、技巧，每一位考生都必須熟練掌握。求數(shù)列通項(xiàng)公式的題型很多，不同的題型有不同的解決方法。下面結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勄髷?shù)列通項(xiàng)公式的解題思路。
一、已知數(shù)列的前幾項(xiàng)
已知數(shù)列的前幾項(xiàng)，求通項(xiàng)公式。通過觀察找規(guī)律，分析出數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系，從而求出通項(xiàng)公式。這種方法稱為觀察法，也即是歸納推理。
例1、求數(shù)列的通項(xiàng)公式
�。�1）0，22——1/3，32——1/4，42＋1/5……
�。�2）9，99，999，……
分析：（1）0=12——1/2，每一項(xiàng)的分子是項(xiàng)數(shù)的平方減去1，分母是項(xiàng)數(shù)加上1，n2——1/n＋1＝n——1，其實(shí)，該數(shù)列各項(xiàng)可化簡(jiǎn)為0，1，2，3，……，易知an＝n——1。
�。�2）各項(xiàng)可拆成10-1，102-1，103-1，……，an＝10n——1。
此題型主要通過讓學(xué)生觀察、試驗(yàn)、歸納推理等活動(dòng)，且在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步通過比較、分析、概括、證明去揭示事物的本質(zhì)，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。
二、已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn
已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn，求通項(xiàng)公式an，主要通過an與Sn的關(guān)系轉(zhuǎn)化，即an -{ S1（n＝1） Sn -Sn——1（n≥2）
例2、已知數(shù)列{an }的前n項(xiàng)和Sn=2n+3，求an
分析：Sn=a1+a2 +……+an——1+an
Sn——1＝a1+a2 +……+an——1
上兩式相減得 Sn -Sn——1=an
解：當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=5
當(dāng)n≥2時(shí)，an =Sn -Sn——1=2n+3-（2n——1+3）=2n——1
∵n=1不適合上式
∴an ={5（n=1） 2n——1（n≥2）
三、已知an與Sn關(guān)系
已知數(shù)列的第n項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn間的`關(guān)系：Sn=f（an），求an。一般的思路是先將Sn與an的關(guān)系轉(zhuǎn)化為an與an——1的關(guān)系，再根據(jù)與的關(guān)系特征分為如下幾種類型。不同的類型，要用不同的方法解決。
�。�1）an=an——1+k。數(shù)列屬等差數(shù)列，直接代公式可求通項(xiàng)公式。
例3、已知數(shù)列{an}，滿足a1=3，an=an——1+8，求an。
分析：由已知條件可知數(shù)列是以3為首項(xiàng)，8為公差的等差數(shù)列，直接代公式可求得an=8n-5。
�。�2）an=kan——1（k為常數(shù)）。數(shù)列屬等比數(shù)列，直接代公式可求通項(xiàng)公式。
例4、數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn,a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N+）
求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。
分析：根據(jù)an與Sn的關(guān)系，將an+1=2Sn+1轉(zhuǎn)化為an與an+1的關(guān)系。
解：由an+1=2Sn+1
得an=2Sn-1+1（n≥2）
兩式相減，得an+1-an=2an
∴an+1=3an （n≥2）
∵a2=2Sn+1=3
∴a2=3a1
∴{an}是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列
∴an=3n-1
�。�3）an+1=an+f（n），用疊加法
思路：令n=1，2，3，……，n-1
得a2=a1+f（1）
a3=a2+f（2）
a4=a3+f（3）
……
+）an=an——1+f（n-1）
an=a1+f（1）+f（2）+…+f（n-1）
例5、若數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=an+2n
則{an}的通項(xiàng)公式=（ ）
解：∵an+1=an+2n
∴a2 =a1+2×1
a3=a2+2×2
a4=a3+2×3
……
+）an=an——1+2（n-1）
an=a1+2（1+2+3+…+n-1）
=2+2×（1+n-1）（n-1）
=n2-n+2
（4）an+1=f（n）an，用累積法
思路：令n=1，2，3，……，n-1
得a2 =f（1）a1 a3=f（2）a2 a4=f（3）a3
……
×）an=f（n-1）an-1
an=a1·f（1）·f（2）·f（3）……f（n-1）
例6、若數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2n+an，則an=（ ）
解：∵an+1=2nan ∴a2 =21a1
a3=22a2 a4=23a3
……
×） an=2n——1·an——1
an=2·22·23·……·2n-1a1=2n（n-1）/2
�。�5）an=pan——1+q， an=pan——1+f（n）
an+1=an+p·qn（pq≠0），
an=p（an——1）q， an+1=ran/pan+q=（pr≠0，q≠r）
（p、q、r為常數(shù)）
這些類型均可用構(gòu)造法或迭代法。
�、賏n=pan——1+q （p、q為常數(shù)）
構(gòu)造法：將原數(shù)列的各項(xiàng)均加上一個(gè)常數(shù)，構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，然后，求出該等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，再還原為所求數(shù)列的通項(xiàng)公式。
將關(guān)系式兩邊都加上x
得an+x=Pan——1+q+x
=P（an——1 + q+x/p）
令x=q+x/p，得x=q/p-1
∴an+q/p-1=P（an——1+q/p-1）
∴{an+q/p-1}是以a1+q/p-1為首項(xiàng)，P為公比的等比數(shù)列。
∴an+q/p-1=（a1+q/p-1）Pn-1
∴an=（a1+q/p-1）Pn-1-q/p-1
迭代法：an=p（an——1+q）=p（pan-2+q）+q
=p2（（pan-3+q）+pq+q……
例7、數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=2an-n（n∈N+）求an
解析：由Sn=2an-n 得Sn-1=2an-1-（n-1） （n≥2,n∈N+）
兩式相減得an=2an-1+1
兩邊加1得an+1=2（an-1+1） （n≥2，n∈N+）
構(gòu)造成以2為公比的等比數(shù)列{an+1}
�、赼n=Pan-1+f（n）
例8、數(shù)列{an}中，a1為常數(shù)，且an=-2an-1+3n-1（≥2，n∈N）
證明：an=（-2）n-1a1+3n+（-1）n·3·2n-1/5
分析：這道題是證明題，最簡(jiǎn)單的方法當(dāng)然是數(shù)學(xué)歸納法，現(xiàn)用構(gòu)造法和迭代法來證明。
方法一：構(gòu)造公比為-2的等比數(shù)列{an+λ·3n}
用比較系數(shù)法可求得λ=-1/5
方法二：構(gòu)造等差型數(shù)列{an/（-2）n}。由已知兩邊同以（-2）n，得an/（-2）n=an-1/（-2）n=1/3·（-3/2）n，用疊加法處理。
方法三：迭代法。
an=-2an-1+3n-1=-2（-2an-2+3n-2）+3n-1
=（-2）2an-2+（-2）·3n-2+3n-1
=（-2）2（-2an-3+3n-3）+（-2）·3n-2+3n-1
=（-2）3an-3+（-2）·3n-3+（-2）·3n-2+3n-1
=（-2）n-1a1+（-2）n-1·3+（-2）n-3·+32+……+（-2）·3n-2+3n-1
=（-2）n-1a1+3n+（-1）n-2·3·2n-1/5
�、踑n+1=λan+p·qn（pq≠0）
�。á。┊�(dāng)λ=qn+1時(shí)，等式兩邊同除以，就可構(gòu)造出一個(gè)等差數(shù)列{an/qn}。
例9、在數(shù)列{an}中，a1=4，an+1+2n+1，求an。
分析：在an+1=2an+2n+1兩邊同除以2n+1，得an+1/2n+1=an/2n+1
∴{an/2n}是以a1/2=2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列。
（ⅱ）當(dāng)λ≠q時(shí)，等式兩邊同除以qn+1，令bn=an/qn，得bn+1=λ/qbn+p，再構(gòu)造成等比數(shù)列求bn，從而求出an。
例10、已知a1=1，an=3an-1+2n-1，求an
分析：從an=3an-1+2n-1兩邊都除以2n，
得an/2n=3/2 an-1/2n-1+1/2
令an/2n=bn
則bn=3/2bn-1+1/2
�、躠n=p（an——1）q（p、q為常數(shù)）
例11、已知an=1/a an——12，首項(xiàng)a1，求an。
方法一：將已知兩邊取對(duì)數(shù)
得lgan=2lgan——1-lga
令bn=lgan
得bn=2bn-1-lga，再構(gòu)造成等比數(shù)列求bn，從而求出an。
方法二：迭代法
an=1/a a2n——1=1/a （1/a a2n——2）2=1/a3 a4n——2
=1/a3 （1/a a2n——3）4=1/a7·an——38=a·（an——3/a）23
=……=a·（a1/a）2n——1
�、輆n+1=ran/pan+q（p、q、r為常數(shù)，pr≠0，q≠r）
將等式兩邊取倒數(shù)，得1/an+1=q/r·1/an+p/r，再構(gòu)造成等比數(shù)列求an。
例12、在{an}中，a1=1，an+1=an/an+2，求an
解：∵an+1=an/an+2
∴1/an+1=2·1/an+1
兩邊加上1，得1/an+1+1=2（1/an+1）
∴{1/an+1}是以1/an+1=2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列
∴ 1/an+1=2×2n-1=2n
∴an=1/2n-1
以上羅列出求數(shù)列通項(xiàng)公式的解題思路雖然很清晰，但是一般考生對(duì)第三項(xiàng)中的5種類型題用構(gòu)選法和迭代法都比較困難的。遇到此情況，可轉(zhuǎn)化為第一種類型解決，即從an與Sn的關(guān)系式求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，用觀察法求an。
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