定積分證明題方法總結(jié)

　　總結(jié)在一個(gè)時(shí)期、一個(gè)年度、一個(gè)階段對(duì)學(xué)習(xí)和工作生活等情況加以回顧和分析的一種書面材料，通過(guò)它可以全面地、系統(tǒng)地了解以往的學(xué)習(xí)和工作情況，讓我們來(lái)為自己寫一份總結(jié)吧�？偨Y(jié)怎么寫才不會(huì)流于形式呢？下面是小編整理的定積分證明題方法總結(jié)，僅供參考，大家一起來(lái)看看吧。

定積分證明題方法總結(jié)1

　　一、不定積分計(jì)算方法

　　1.湊微分法

　　2.裂項(xiàng)法

　　3.變量代換法

　　1)三角代換

　　2)根冪代換

　　3)倒代換

　　4.配方后積分

　　5.有理化

　　6.和差化積法

　　7.分部積分法（反、對(duì)、冪、指、三）

　　8.降冪法

　　二、定積分的計(jì)算方法

　　1.利用函數(shù)奇偶性

　　2.利用函數(shù)周期性

　　3. 參考不定積分計(jì)算方法

　　三、定積分與極限

　　1.積和式極限

　　2.利用積分中值定理或微分中值定理求極限

　　3.洛必達(dá)法則

　　4.等價(jià)無(wú)窮小

　　四、定積分的估值及其不等式的應(yīng)用

　　1.不計(jì)算積分，比較積分值的大小

　　1)比較定理：若在同一區(qū)間[a,b]上，總有

　　f(x)>=g(x),則>= ()dx

　　2)利用被積函數(shù)所滿足的不等式比較之a(chǎn))

　　b)當(dāng)0

　　2.估計(jì)具體函數(shù)定積分的值

　　積分估值定理：設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且其最大值為M，最小值為m則

　　M(b-a)<= <=M(b-a)

　　3.具體函數(shù)的.定積分不等式證法

　　1)積分估值定理

　　2)放縮法

　　3)柯西積分不等式

　　≤ %

　　4.抽象函數(shù)的定積分不等式的證法

　　1)拉格朗日中值定理和導(dǎo)數(shù)的有界性

　　2)積分中值定理

　　3)常數(shù)變易法

　　4)利用泰勒公式展開法

　　五、變限積分的導(dǎo)數(shù)方法

　　1、經(jīng)驗(yàn)總結(jié)

　　(1)定積分的定義：分割—近似代替—求和—取極限

　　(2)定積分幾何意義：

　�、賔(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)與x軸，x=a,x=b所圍成曲邊梯形的面積ab

　　②f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)與x軸，x=a,x=b所圍成曲邊梯形的面積的相a

　　反數(shù)

　　(3)定積分的基本性質(zhì)：

　�、賙f(x)dx=kf(x)dx aabb

　　②[f1(x)f2(x)]dx=f1(x)dxf2(x)dx aaa

　�、踗(x)dx=f(x)dx+f(x)dx aac

　　(4)求定積分的方法：baf(x)dx=limf(i)xi ni=1nbbbbbcb

　�、俣�義法：分割—近似代替—求和—取極限②利用定積分幾何意義

　　’③微積分基本公式f(x)F(b)-F(a),其中F（x）=f(x) ba

定積分證明題方法總結(jié)2

　　一、不定積分的概念和性質(zhì)

　　若F(x)f(x)，則f(x)dxF(x)C， C為積分常數(shù)不可丟！

　　性質(zhì)1f(x)dxf(x)或 df(x)dxf(x)dx或

　　df(x)dxf(x) dx

　　性質(zhì)2F(x)dxF(x)C或dF(x)F(x)C

　　性質(zhì)3[f(x)g(x)]dx

　　或[f(x)g(x)]dx

　　二、基本積分公式或直接積分法

　　基本積分公式 f(x)dxg(x)dx g(x)dx；kf(x)dxkf(x)dx. f(x)dx

　　kdxkxC

　　xxdx1x1C(為常數(shù)且1)1xdxlnxC ax

　　edxeCadxlnaC xx

　　cosxdxsinxCsinxdxcosxC

　　dxdx22tanxCsecxdxcsccos2xsin2xxdxcotxC

　　secxtanxdxsecxCcscxcotxdxcscxC

　　dxarctanxCarccotx

　　C（）1x2arcsinxC（arccosxC）

　　直接積分法：對(duì)被積函數(shù)作代數(shù)變形或三角變形，化成能直接套用基本積分公式。 代數(shù)變形主要是指因式分解、加減拆并等；三角變形主要是指三角恒等式。

　　三、換元積分法：

　　1.第一類換元法（湊微分法）

　　g(x)dxf((x))(x)dxf((x))d(x)

　　注 (1)常見湊微分：

　　u(x)f(u)du[F(u)C]u(x).

　　111dxd(axc), xdxd(x2c),2dc), dxd(ln|x|

　　c) a2x1dxd(arctanx)d(arccotxd(arcsinx)d(arccosx) 1+x2

　　(2)適用于被積函數(shù)為兩個(gè)函數(shù)相乘的情況：

　　若被積函數(shù)為一個(gè)函數(shù)，比如：e2xdxe2x1dx， 若被積函數(shù)多于兩個(gè)，比如：sinxcosx1sin4xdx，要分成兩類；

　　(3)一般選擇“簡(jiǎn)單”“熟悉”的那個(gè)函數(shù)寫成(x)；

　　(4)若被積函數(shù)為三角函數(shù)偶次方，降次；奇次方，拆項(xiàng)；

　　2.第二類換元法

　　f(x)dxx(t)f((t))(t)dtf((t))(t)dtt1(x)G(t)Ct1(x) 常用代換類型:

　　(1) 對(duì)被積函數(shù)直接去根號(hào);

　　(2) 到代換x1; t

　　(3) 三角代換去根號(hào)

　　x

　　atantxasect、

　　xasint(orxacost)

　　f(xdx，t

　　f(xx，x

　　asect

　　f(xx，xasint

　　f(xx，xatant f(ax)dx，ta

　　x

　　f(xx，t

　　三、分部積分法：uvdxudvuvvduuvuvdx.

　　注 (1)u的選取原則：按“ 反對(duì)冪三指” 的.順序，誰(shuí)在前誰(shuí)為u，后面的為v;

　　(2)uvdx要比uvdx容易計(jì)算；

　　(3)適用于兩個(gè)異名函數(shù)相乘的情況，若被積函數(shù)只有一個(gè)，比如：

　　arcsinx1dx，

　　u

　　v

　　(4)多次使用分部積分法： uu求導(dǎo) vv積分（t；

定積分證明題方法總結(jié)3

　　1、原函數(shù)存在定理

　　●定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，那么在區(qū)間I上存在可導(dǎo)函數(shù)F(x)，使對(duì)任一x∈I都有F’(x)=f(x);簡(jiǎn)單的說(shuō)連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)。

　　●分部積分法

　　如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和正余弦或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積，就可以考慮用分部積分法，并設(shè)冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)為u，這樣用一次分部積分法就可以使冪函數(shù)的冪降低一次。如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就可設(shè)對(duì)數(shù)和反三角函數(shù)為u。

　　2、對(duì)于初等函數(shù)來(lái)說(shuō)，在其定義區(qū)間上，它的原函數(shù)一定存在，但原函數(shù)不一定都是初等函數(shù)。

　　定積分

　　1、定積分解決的典型問(wèn)題

　　(1)曲邊梯形的面積(2)變速直線運(yùn)動(dòng)的路程

　　2、函數(shù)可積的充分條件

　　●定理設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間[a,b]上可積，即連續(xù)=>可積。

　　●定理設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間[a,b]上可積。

　　3、定積分的若干重要性質(zhì)

　　●性質(zhì)如果在區(qū)間[a,b]上f(x)≥0則∫abf(x)dx≥0。

　　●推論如果在區(qū)間[a,b]上f(x)≤g(x)則∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。

　　●推論|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。

　　●性質(zhì)設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值和最小值，則m(b-a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a),該性質(zhì)說(shuō)明由被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大值及最小值可以估計(jì)積分值的大致范圍。

　　●性質(zhì)(定積分中值定理)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在積分區(qū)間[a,b]上至少存在一個(gè)點(diǎn)，使下式成立：∫abf(x)dx=f()(b-a)。

　　4、關(guān)于廣義積分

　　設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上除點(diǎn)c(a

　　定積分的應(yīng)用

　　1、求平面圖形的'面積(曲線圍成的面積)

　　●直角坐標(biāo)系下(含參數(shù)與不含參數(shù))

　　●極坐標(biāo)系下(r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ)(扇形面積公式S=R2θ/2)

　　●旋轉(zhuǎn)體體積(由連續(xù)曲線、直線及坐標(biāo)軸所圍成的面積繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)而成)(且體積V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲線的方程)

　　●平行截面面積為已知的立體體積(V=∫abA(x)dx,其中A(x)為截面面積)

　　●功、水壓力、引力

　　●函數(shù)的平均值(平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx)

定積分證明題方法總結(jié)4

　　一、原函數(shù)

　　定義1 如果對(duì)任一xI，都有

　　F(x)f(x) 或 dF(x)f(x)dx

　　則稱F(x)為f(x)在區(qū)間I 上的原函數(shù)。

　　例如：(sinx)cosx，即sinx是cosx的原函數(shù)。 [ln(xx2)

　　原函數(shù)存在定理：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I 上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間I 上一定有原函數(shù)，即存在區(qū)間I 上的可導(dǎo)函數(shù)F(x)，使得對(duì)任一xI，有F(x)f(x)。

　　注1：如果f(x)有一個(gè)原函數(shù)，則f(x)就有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù)。

　　設(shè)F(x)是f(x)的原函數(shù)，則[F(x)C]f(x)，即F(x)C也為f(x)的原函數(shù)，其中C為任意常數(shù)。

　　注2：如果F(x)與G(x)都為f(x)在區(qū)間I 上的原函數(shù)，則F(x)與G(x)之差為常數(shù)，即F(x)G(x)C（C為常數(shù)）

　　注3：如果F(x)為f(x)在區(qū)間I 上的一個(gè)原函數(shù)，則F(x)C（C為任意常數(shù)）可表達(dá)f(x)的`任意一個(gè)原函數(shù)。

　　1x2，即ln(xx2)是1x2的原函數(shù)。

　　二、不定積分

　　定義2 在區(qū)間I上，f(x)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)，成為f(x)在區(qū)間I上的不定積分，記為f(x)dx。

　　如果F(x)為f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則

　　f(x)dxF(x)C，（C為任意常數(shù)）

　　三、不定積分的幾何意義

　　圖 5—1 設(shè)F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則yF(x)在平面上表示一條曲線，稱它為f(x)f(x)的不定積分表示一族積分曲線，它們是由f(x)的某一條積分曲線沿著y軸方向作任意平行移動(dòng)而產(chǎn)生的所有積分曲線組成的．顯然，族中的每一條積分曲線在具有同一橫坐標(biāo)x的點(diǎn)處有互相平行的切線，其斜率都等于f(x)．

　　在求原函數(shù)的具體問(wèn)題中，往往先求出原函數(shù)的一般表達(dá)式y(tǒng)F(x)C，再?gòu)闹写_定一個(gè)滿足條件 y(x0)y0 (稱為初始條件)的原函數(shù)yy(x)．從幾何上講，就是從積分曲線族中找出一條通過(guò)點(diǎn)(x0,y0)的積分曲線．

　　四、不定積分的性質(zhì)（線性性質(zhì)）

　　[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx

　　k為非零常數(shù)） kf(x)dxkf(x)dx（

　　五、基本積分表

　　∫ a dx = ax + C，a和C都是常數(shù)

　　∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a為常數(shù)且 a ≠ -1 ∫ 1/x dx = ln|x| + C

　　∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

　　∫ e^x dx = e^x + C

　　∫ cosx dx = sinx + C

　　∫ sinx dx = - cosx + C

　　∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

　　∫ tanx dx = - ln|cosx| + C = ln|secx| + C

　　∫ secx dx =ln|cot(x/2)| + C

　　= (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C

　　= - ln|secx - tanx| + C = ln|secx + tanx| + C

　　∫ cscx dx = ln|tan(x/2)| + C

　　= (1/2)ln|(1 - cosx)/(1 + cosx)| + C

　　= - ln|cscx + cotx| + C = ln|cscx - cotx| + C

　　∫ sec^2(x) dx = tanx + C

　　∫ csc^2(x) dx = - cotx + C

　　∫ secxtanx dx = secx + C

　　∫ cscxcotx dx = - cscx + C

　　∫ dx/(a^2 + x^2) = (1/a)arctan(x/a) + C

　　∫ dx/√(a^2 - x^2) = arcsin(x/a) + C

　　∫ dx/√(x^2 + a^2) = ln|x + √(x^2 + a^2)| + C

　　∫ dx/√(x^2 - a^2) = ln|x + √(x^2 - a^2)| + C

　　∫ √(x^2 - a^2) dx = (x/2)√(x^2 - a^2) - (a^2/2)ln|x + √(x^2 - a^2)| + C ∫ √(x^2 + a^2) dx = (x/2)√(x^2 + a^2) + (a^2/2)ln|x + √(x^2 + a^2)| + C ∫ √(a^2 - x^2) dx = (x/2)√(a^2 - x^2) + (a^2/2)arcsin(x/a) + C

　　六、第一換元法（湊微分）

　　設(shè)F(u)為f(u)的原函數(shù)，即F(u)f(u) 或 f(u)duF(u)C 如果 u(x)，且(x)可微，則 dF[(x)]F(u)(x)f(u)(x)f[(x)](x) dx

　　即F[(x)]為f[(x)](x)的原函數(shù)，或

　　f[(x)](x)dxF[(x)]C[F(u)C]u(x)[f(u)du]因此有

　　定理1 設(shè)F(u)為f(u)的原函數(shù)，u(x)可微，則

　　f[(x)](x)dx[f(u)du]

　　公式(2-1)稱為第一類換元積分公式。 u(x)u(x) (2-1)

　　f[(x)](x)dxf[(x)]d(x)[f(u)du]u(x)

　　1f(axb)d(axb)1[f(u)du]f(axb)dxuaxb

定積分證明題方法總結(jié)5

　　摘要:結(jié)合實(shí)例分析介紹了不定積分的四種基本計(jì)算方法。為使學(xué)生熟練掌握,靈活運(yùn)用積分方法,本文將高等數(shù)學(xué)中計(jì)算不定積分的常用方法,簡(jiǎn)單進(jìn)行了整理歸類。

　　關(guān)鍵詞:積分方法 第一類換元法第二類換元法 分部積分法 不定積分是高等數(shù)學(xué)中積分學(xué)的基礎(chǔ),對(duì)不定積分的理解與掌握的好壞直接影響到該課程的學(xué)習(xí)和掌握。熟練掌握不定積分的理論與運(yùn)算方法,不但能使學(xué)生進(jìn)一步鞏固前面所學(xué)的導(dǎo)數(shù)與微分的知識(shí),而且也將為學(xué)習(xí)定積分,微分方程等相關(guān)知識(shí)打好基礎(chǔ)。在高等數(shù)學(xué)中,函數(shù)的概念與定義與初等數(shù)學(xué)相比發(fā)生了很多的變化,從有限到無(wú)限,從確定到不確定,計(jì)算結(jié)果也可能不唯一,但計(jì)算方法與計(jì)算技巧顯得更加重要。這些都在不定積分的計(jì)算中體會(huì)的.淋漓盡致。對(duì)不定積分的求解方法進(jìn)行簡(jiǎn)單的歸類,不但使其計(jì)算方法條理清楚,而且有助于對(duì)不定積分概念的理解,提高學(xué)習(xí)興趣,對(duì)學(xué)好積分具有一定的促進(jìn)作用。

　　1 直接積分法

　　直接積分法就是利用不定積分的定義,公式與積分基本性質(zhì)求不定積分的方法。直接積分法重要的是把被積函數(shù)通過(guò)代數(shù)或三角恒等式變形,變?yōu)榉e分表中能直接計(jì)算的公式,利用積分運(yùn)算法則,在逐項(xiàng)積分。

　　一、原函數(shù)與不定積分的概念

　　定義1.設(shè)f(x)是定義在某區(qū)間的已知函數(shù)，若存在函數(shù)F(x)，使得F(x)或dF

　　f(x)

　　(x)f(x)dx

　　,則稱F(x)為f(x)的一個(gè)原函數(shù)

　　定義2.函數(shù)

　　f(x)的全體原函數(shù)F(x)C叫做f(x)的不定積分，，記為:

　　f(x)dxF(x)C

　　f(x)叫做被積函數(shù) f(x)dx叫做被積表達(dá)式C叫做積分常數(shù)

　　“

　　其中

　　”叫做積分號(hào)

　　二、不定積分的性質(zhì)和基本積分公式

　　性質(zhì)1. 不定積分的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)，不定積分的微分等于被積表達(dá)式，即

　　f(x)dxf(x)；df(x)dxf(x)dx.

　　性質(zhì)2. 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的不定積分等于該函數(shù)加上一個(gè)任意函數(shù)，即

　　f(x)dxf(x)C,

　　或df(x)f(x)C

　　性質(zhì)3. 非零的常數(shù)因子可以由積分號(hào)內(nèi)提出來(lái)，即

　　kf(x)dxkf(x)dx

　　(k0).

　　性質(zhì)4. 兩個(gè)函數(shù)的代數(shù)和的不定積分等于每個(gè)函數(shù)不定積分的代數(shù)和，即

　　f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx

　　基本積分公式

　　(1)kdxkxC(k為常數(shù))

　　(2)xdx

　　1

　　1

　　x

　　1

　　C

　　(1)

　　1

　　(3)xlnxC

　　x

　　(4)exdxexC

　　(6)cosxdxsinxC (8)sec2xdxtanxC (10)secxtanxdxsecxC (12)secxdxlnsecxtanxC (14)(16)

　　11x

　　11x

　　2

　　(5)a

　　x

　　dx

　　a

　　x

　　lna

　　C

　　(7)sinxdxcosxC (9)csc2xdxcotxC

　　(11)

　　cscxcotxdxcscxC

　　(13)cscxdxlncscxcotxC (15)

　　1x

　　2

　　2

　　xarctanxC

　　xarcsinxC

　　xarcsinxC

　　三、換元積分法和分部積分法

　　定理1. 設(shè)(x)可導(dǎo)，并且f(u)duF(u)C. 則有

　　f[(x)](x)dxF(u)C

　　湊微分

　　f[(x)]d(x)

　　令u(x)

　　f(u)du

　　代回u(x)

　　F((x))C

　　該方法叫第一換元積分法(integration by substitution)，也稱湊微分法． 定理2.設(shè)x數(shù)F

　　(t)是可微函數(shù)且(t)0，若f((t))(t)具有原函

　　(t)，則

　　xt換元

　　fxdx

　　fttdt

　　積分

　　FtC

　　t

　　1

　　x

　　回代

　　1

　　FxC.

　　該方法叫第二換元積分法

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